Presentacion en clase - Departamento de Física - Universidad ...
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Atomo de Hidrógeno: solución de la Ecuación de Schrödinger l Separación de variables: 1 ∂ ⎛ R(r) ∂r r 2 ∂ ⎝⎜ ∂r R(r) ⎞ ⎠⎟ + r ⎛ 2 ⎝⎜ = κ + 2m Ze 2 2 4πε 0 r + 2mE 2 ⎞ ⎠⎟ = −κ 1 ⎛ 1 ∂ ⎛ Y(θ,φ) sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞ ⎝⎜ ∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞ ⎝⎜ sin 2 θ ∂φ 2 ⎠⎟ Y(θ,φ) = 0 l Parte angular: ⎛ 1 ⎝⎜ sin θ ∂ ⎛ ∂θ sin θ ∂ ⎞ ⎝⎜ ∂θ ⎠⎟ + 1 sin 2 θ ∂ 2 ⎞ Y(θ,φ) + κY(θ,φ) = 0 ∂φ 2 ⎠⎟ • No depende del potencial central V(r), ni de r en general. • Es común a todo caso de simetría esférica. • Las soluciones Y se llaman armónicos esféricos
La parte angular: armónicos esféricos ⎛ 1 ∂ ⎛ sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞ ⎝⎜ ∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞ Y(θ,φ) + κY(θ,φ) = 0 ⎝⎜ sin 2 θ ∂φ 2 ⎠⎟ l La ecuación es nuevamente separable: Y(θ,φ) = T(θ) F(φ) 1 T(θ) sin θ ∂ ⎛ ∂θ sin θ ∂ ⎞ ⎝⎜ ∂θ ⎠⎟ T(θ) + κ sin2 θ + 1 ∂ 2 F(φ) ∂φ F(φ) = 0 2 l La parte en ∂ 2 = m 2 φ : ∂φ 2 F(φ) + m2 F(φ)= 0 = −m 2 F(φ) = e i m φ F(0) = F(2π) ⇒ m ∈ l La parte en q : sin θ ∂ ⎛ ∂θ sin θ ∂ ⎞ ⎝⎜ ∂θ ⎠⎟ T(θ) + ( κ sin2 θ − m 2 )T(θ) = 0
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La parte angular: armónicos esféricos<br />
⎛ 1 ∂ ⎛<br />
sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞<br />
⎝⎜<br />
∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞<br />
Y(θ,φ) + κY(θ,φ) = 0<br />
⎝⎜<br />
sin 2 θ ∂φ 2 ⎠⎟ l La ecuación es nuevam<strong>en</strong>te separable:<br />
Y(θ,φ) = T(θ) F(φ)<br />
1<br />
T(θ) sin θ ∂ ⎛<br />
∂θ sin θ ∂ ⎞<br />
⎝⎜<br />
∂θ ⎠⎟ T(θ) + κ sin2 θ + 1 ∂ 2<br />
F(φ) ∂φ F(φ) = 0<br />
2<br />
l La parte <strong>en</strong><br />
∂ 2<br />
= m 2<br />
φ :<br />
∂φ 2 F(φ) + m2 F(φ)= 0<br />
= −m 2<br />
F(φ) = e i m φ<br />
F(0) = F(2π) ⇒ m ∈ <br />
l La parte <strong>en</strong><br />
q<br />
:<br />
sin θ ∂ ⎛<br />
∂θ sin θ ∂ ⎞<br />
⎝⎜<br />
∂θ ⎠⎟ T(θ) + ( κ sin2 θ − m 2 )T(θ) = 0
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