Presentacion en clase - Departamento de Física - Universidad ...

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Física
Claudio Dib
El Atomo
l Modelo de Thomson
l Modelo de Rutherford
l Modelo de Bohr
l …and “the real Mc Coy”: Schrödinger

Materia hecha por… átomos?
Demócrito (450 - 370 AC)
ATOMOS
(a-tomos : indivisible)
l John Dalton (1766 – 1844):
(meteorólogo y Químico)
TEORÍA ATÓMICA:
- Materia compuesta de átomos.
- Atomos de un mismo elemento son
iguales, átomos de distintos elementos
son distintos.
- En un compuesto, átomos se combinan
siempre en la misma proporción.

Modelo de J.J. Thomson (1897)
l El modelo de “Budín con Pasas”
• (por algo se empieza, pero…budín con pasas?)
l “Masa positiva”
l Electrones (-) pegados.
Problema:
Modelo no explica nada más:
- No explica estructura
- No explica espectros
- No explica moléculas

Modelo de Rutherford (1911):
Ernest Rutherford descubre el Núcleo Atómico
en experimento:
Bombardeo de lámina de oro con partículas alfa:

Modelo de Rutherford (1911):
Ernest Rutherford descubre el Núcleo Atómico
en experimento:
Bombardeo de lámina de oro con partículas alfa:

Modelo de Rutherford (1911):
Ernest Rutherford descubre el Núcleo Atómico
en experimento:
Bombardeo de lámina de oro con partículas alfa:

Modelo de Rutherford (1911):
Ernest Rutherford descubre el Núcleo Atómico
en experimento:
Bombardeo de lámina de oro con partículas alfa:
Modelo “planetario”

Modelo clásico de Rutherford
l Interacción de Coulomb; supongamos órbita circular:
F =
Ze2 = m v 2
⇒
Ze2
4πε 0
r 2 r 4πε 0
r = mv 2
l Energía cinética:
E K
= 1 2 mv 2
F
v
l Energía potencial: E P
= − Ze2
4πε 0
r
E P
= −2E K
E TOT
= E P
+ E K
= − 1 2 E P = − Ze2
8πε 0
r
l Referencia: E P = 0 en r infinito. E TOT < 0 : sistema ligado.
l Dos Problemas Graves del modelo:
¡ No se puede determinar r: De dónde sale el tamaño del átomo?
¡ Carga acelerada irradia: órbita inestable.

Modelo de Bohr (Niels Bohr, 1913);
P. Nobel 1922
l Modelo de órbita clásica + momentum cuantizado.
¡ Suponer que órbita es un múltiplo de long. de onda:
2πr = nλ, n ∈
Ze 2
Eso, con lo anterior,
4πε 0
r = mv 2
con λ = h p
⇒ 2πr = nh
⎛
∴r n
= n 2 ⎞⎛
4πε 0
c ⎞
⎝⎜
mc ⎠⎟
⎝⎜
Ze 2 ⎠⎟ y v n = 1 ⎛ Ze 2 ⎞
n ⎝⎜
4πε
mv
0
c ⎠⎟ c
⎛
r n
= n 2 ⎞
C
⎝⎜
Zα ⎠⎟ ; v n = Zα
n c ; E n =− 1 Z 2 α 2 mc 2
n 2 2
Donde
C
y
= mc
α =
e2
4πε 0
c ≈ 1
137
(Long. Onda Compton)
(constante de estructura fina)

Modelo de Bohr (Niels Bohr, 1913);
P. Nobel 1922
l Modelo de órbita clásica + momentum cuantizado.
l RESULTADO:
⎛
r n
= n 2 ⎞
C
⎝⎜
Zα ⎠⎟ ; E n =− 1 Z 2 α 2 mc 2
n 2 2
l Usando números:
Energías en niveles discretos.
Radios discretos (hay un tamaño mínimo)
r n
= n 2 a 0
Z ; a 0 0,528 ⎡
⎣⎢ A ⎤
⎦⎥
(radio de Bohr)
E n
=− Z 2
n 2 E 0 ;
E 0
13,6 ⎡
⎣⎢ eV
⎤
⎦⎥

Modelo de Bohr (Niels Bohr, 1913);
P. Nobel 1922
l Niveles discretos de energía explican
los espectros atómicos de emisión, que son discretos!
hν = E ini
− E fin

Pongamos a prueba el modelo de Bohr:
l En los espectros:
¡ explica espectro atómico discreto.
¡ Incluso coincide cuantitativamente en el caso del Hidrógeno.
l En la estructura atómica:
¡ explica que hay una energía mínima (estabilidad del átomo)
¡ explica que hay un tamaño atómico (cercano a 1 [A], correcto!)
l Pero falla en lo siguiente:
¡ No dice nada cuantitativo de otros elementos, salvo Hidrógeno.
¡ No explica las probabilidades de transición (vida media).
¡ El radio de las órbitas?… en rigor no pueden ser órbitas! (Heisenberg).

Dos detalles sobre la transiciones:
l 1) La energía del fotón emitido es exactamente hν = E ini
− E fin
?
¡ Conservación de energía y momentum: átomo debe retroceder
(se lleva una parte de la energía liberada en la transición).
E i
= E f
+ E K (at) + hν
0 = −p (at)
+ hν c
con E (at) K
= p 2
(at)
2M
resolviendo:
⇒ hν = ΔE − (ΔE)2
2Mc 2
E K (at) ≈ (ΔE)2
2Mc 2
ΔE
+ ... ≈ΔE
hν = ΔE
es una buena aproximación, porque
ΔE Mc 2

Dos detalles sobre la transiciones:
l
2) Nivel superior no es estable: incerteza en energía!
E ini
± δE
hν = (E ini
− E fin
) ± δE
E fin
⇒ valor central: hν = ΔE; incerteza: δν = δE h
TAREA: calcule el valor central
y ancho del espectro de emisión
en longitudes de onda
dI
dλ
λ

Finalmente: el átomo de Hidrógeno
según la Ecuación de Schrödinger
l Ecuación para el movimento del electrón en torno al núcleo fijo:
Potencial de Coulomb (en 3-D): sólo depende de r : usamos
coordenadas esféricas.
− 2
2m ∇2 ψ(r,θ,φ) +V(r) ψ(r,θ,φ) = E ψ(r,θ,φ)
∇ 2 ψ ≡ 1
r 2
∂ ⎛
∂r r 2 ∂
⎝⎜
∂r ψ
⎞
⎠⎟ + 1 ∂ ⎛
r 2 sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎝⎜
∂θ ψ
⎞
⎠⎟ + 1
r 2 sin 2 θ
∂ 2
∂φ 2 ψ
∂ ⎛
∂r r 2 ∂
⎝⎜
∂r ψ
⎞
⎠⎟ + r ⎛
2
⎝⎜
V(r) = − Ze2
4πε 0
r
2m Ze 2
2 4πε 0
r + 2mE
2
⎞
⎠⎟ ψ + 1
sin θ
∂ ⎛
∂θ sin θ ∂ ⎝⎜
∂θ ψ
⎞
⎠⎟ + 1
sin 2 θ
∂ 2
∂φ 2 ψ = 0
Sólo función de
r
(θ,φ)
Sólo función de
La ecuación es separable! Usar ψ(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ)

Atomo de Hidrógeno:
solución de la Ecuación de Schrödinger
l Separación de variables:
1 ∂ ⎛
R(r) ∂r r 2 ∂
⎝⎜
∂r R(r)
⎞
⎠⎟ + r ⎛
2
⎝⎜
= κ
+
2m Ze 2
2 4πε 0
r + 2mE
2
⎞
⎠⎟
= −κ
1 ⎛ 1 ∂ ⎛
Y(θ,φ) sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞
⎝⎜
sin 2 θ ∂φ 2
⎠⎟ Y(θ,φ) = 0
l Parte angular:
⎛
1
⎝⎜
sin θ
∂ ⎛
∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ
⎠⎟ + 1
sin 2 θ
∂ 2 ⎞
Y(θ,φ) + κY(θ,φ) = 0
∂φ 2 ⎠⎟ • No depende del potencial central V(r), ni de r en general.
• Es común a todo caso de simetría esférica.
• Las soluciones Y se llaman armónicos esféricos

La parte angular: armónicos esféricos
⎛ 1 ∂ ⎛
sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞
Y(θ,φ) + κY(θ,φ) = 0
⎝⎜
sin 2 θ ∂φ 2 ⎠⎟ l La ecuación es nuevamente separable:
Y(θ,φ) = T(θ) F(φ)
1
T(θ) sin θ ∂ ⎛
∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ T(θ) + κ sin2 θ + 1 ∂ 2
F(φ) ∂φ F(φ) = 0
2
l La parte en
∂ 2
= m 2
φ :
∂φ 2 F(φ) + m2 F(φ)= 0
= −m 2
F(φ) = e i m φ
F(0) = F(2π) ⇒ m ∈
l La parte en
q
:
sin θ ∂ ⎛
∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ T(θ) + ( κ sin2 θ − m 2 )T(θ) = 0

La parte angular: armónicos esféricos
l La parte en
θ :
sin θ ∂ ⎛
∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ T(θ) + ( κ sin2 θ − m 2 )T(θ) = 0
• Ecuación de Legendre
l Las soluciones son regulares (finitas) en los polos
sólo si:
1) κ = ( + 1), = 0,1,2,3,...
2) m es tal que − ≤ m ≤
θ = 0, θ = π
l Soluciones: polinomios en
cosθ, sin θ
l Armónicos esféricos: Y l,m
(θ,φ) Normalización: Y l,m
(θ,φ) 2 dΩ = 1
Angulo sólido:
∫
dΩ = sin 2 θdθdφ

Armónicos esféricos
Y 0,0
(θ,φ) =
1 4π
Y 1,0
(θ,φ) = 3
4π cosθ
Y 1,±1
(θ,φ) = 3
8π
sin θe±i
φ
Y 2,0
(θ,φ) = 15 (
8π 3cos2 θ − 1)
Y 2,±1
(θ,φ) = 15
8π
sin θ cosθe±i
φ
Y 2,±2
(θ,φ) = 15
16π sin2 θ e ±2i φ
Y l,m
(θ,φ) dependen de l = 0, 1, 2, 3,... y de m = −l,... ,+ l

La parte radial de la función
l Ecuación radial
1 ∂ ⎛
r 2 ∂r r 2 ∂
∂r R(r)
⎞
⎝⎜
⎠⎟ + ⎛
2m Ze 2 l(l + 1)
−
⎝⎜
2 4πε 0
r r 2
⎛
l Escalamiento: r = a ⎞
0
⎝⎜
Z ⎠⎟ x, E = ⎛
Z 2 α 2 mc 2 ⎞
⎝⎜
2
l Condición de estado ligado:
l Energías discretas:
1
x 2
∂ ⎛
∂x x 2 ∂
⎝⎜
∂x
⎞
R(x)
⎠⎟ + ⎛
2 ⎝⎜
x
E n
= − Z 2
−
l(l + 1)
x 2
+ 2mE
2
⎠⎟ ε
⎞
+ ε R(x)
⎠⎟ = 0
R(r → ∞) = 0 ⇒ ε = − 1
n 2 E 0
(igual que Bohr!)
⎞
⎠⎟ R(r) = 0
= Z 2 E 0
ε
n 2 , n = 1,2,3,...
l Restricción adicional:
l = 0,1,2,3,...,(n − 1)

La parte radial de la función
l Normalización de las soluciones R n,l
(r) :
l Algunos casos:
⎛
R 1,0
(r) = 2 Z ⎞
⎝⎜
a 0 ⎠⎟
3 2
R 2,0
(r) = 1 ⎛ Z ⎞
2 ⎝⎜
⎠⎟
a 0
R 2,1
(r) = 1 ⎛ Z ⎞
6 ⎝⎜
⎠⎟
a 0
e −Z r a 0
3 2
⎛
1− Zr ⎞
⎝⎜
2a 0 ⎠⎟ e−Z r 2a 0
3 2
Zr
2a 0
e −Z r 2a 0
∞
∫
0
R n,l
(r) 2 r 2 dr = 1
l
~ polinomios de Laguerre

Interpretación
l El electrón sólo puede tener valores discretos de energía (los mismos
que en modelo de Bohr).
l No hay órbitas de radio fijo: hay una distribución continua de
probabilidad.
l Los estados del electrón están determinados por tres números:
l Los Números cuánticos:
n = 1,2,3,... No. cuantico principal
l = 0,1,2,...,(n − 1) No. cuantico de momentum angular
m = −l,...,−1,0,1, ...,l No. cuantico magnetico

Número cuántico principal
l n determina el nivel de energía
y el radio promedio del orbital.
E n
= − E 0
n 2 , E 0
13,6 ⎡
⎣⎢ eV
⎤
⎦⎥
ψ(r,θ,φ) = R n,l
(r)Y l,m
(θ,φ)
R n
(r) e −r /n a 0

Número de momentum angular
l Ecuación de la parte angular:
⎛ 1 ∂ ⎛
sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞
Y(θ,φ) = − l(l + 1)Y(θ,φ)
⎝⎜
sin 2 θ ∂φ 2 ⎠⎟ es una ecuación de valores propios.
l Siendo el Momentum angular:
l Compruebe que:
l De modo que la ecuación angular es:
L = r × p → −i r × ∇
L 2 = L ⋅ L ⎛
→ − 2 1 ∂ ⎛
sin θ ∂θ sin θ ∂ ⎞
⎝⎜
∂θ ⎠⎟ + 1 ∂ 2 ⎞
⎝⎜
sin 2 θ ∂φ 2 ⎠⎟
L 2 Y(θ,φ) = 2 l(l + 1)Y(θ,φ)

Momentum angular
l Momentum angular tiene valores discretos:
l Valores de
L 2 : l(l + 1), con l = 0,1,2,3,...
l Ej. un sólido rotando: Energía de rotación:
E K (rot) = L2
2I
= 2 l(l + 1)
2I
l Ejercicios:
I : momento de inercia ~ mr 2
l Calcule para una esfera de 1[g], de radio 2 [mm], girando a 10 rpm.
l Calcule la energía de los dos primeros niveles de rotación de una molécula
de O 2

Más momentum angular:
l El número m : la componente z del momentum angular.
L z
= ( r × p) z
→ −i ∂ ∂φ
−l ≤ m ≤ l
l = 2
⇒
L z
Y l,m
(θ,φ) = mY l,m
(θ,φ)
m = +2
m = +1
m = 0
m = −1
m = −2
Nota: de acuerdo a la Mec. Cuántica, sólo se puede conocer UNA componente del
momentum angular a la vez, además del módulo al cuadrado.

Interacción magnética
l Momento magnético:
µ = I ⋅ Area ⋅ ˆn
l Relación momento magnético – momentum angular:
l Interacción con campo magnético externo:
E int
= − µ ⋅ B ext
I
I
ˆn
ˆn
B ext
⎛
µ = q
⎝⎜
2m e
⎞
L
⎠⎟
E
l Atomo en campo magnético externo:
aparecen nuevos niveles de energía:
E m
=
n = 3
e
n = 2
⎛ e ⎞
L ⋅ B = m 2m e ⎝⎜
2m e ⎠⎟ B z
n = 1
Magnetón de Bohr µ B

Otto Stern
El spin
l Experimento de Stern & Gerlach (1920); p. Nobel 1943.
¡ Atómos con 1 e en orbital l = 0 se deflectan
en sólo dos direcciones.
l 1920: Stern y Gerlach usan átomos de plata
l 1927: Phipps y Taylor usan hidrógeno
l Lo mismo ocurre con Cobre, Oro, Sodio, Potasio
l Qué está pasando:
electrón tiene momentum
angular intrínseco (spin).
l Sólo dos estados:
l En campo externo:
m s
S :
S 2 → 2 s(s + 1); m s
= −s,...,+s
= −1 / 2, + 1 / 2 ⇒ s = 1 / 2
E m
= g µ B
B z
m s
, m s
= ±1 / 2
Factor de Landé g 2
E m
= ±µ B
B z

El Spin
l Momentum angular intrínseco de las partículas.
l Propiedad esencialmente cuántica (no es rotación clásica).
l Valores posibles de S son similares al L orbital, pero semienteros:
S 2 = 2 s(s + 1), s = 0, 1 2 , 1, 3 2 , 2, 5 2 , ...
S z
= m s
, m s
= −s, −s+1,..., +s
l Cada partícula tiene valor s fijo (ej. Electrones: s = ½)
l Partículas con spin entero: Bosones.
l
semientero: Fermiones.

Resumen:
Estados del electrón en el átomo de Hidrógeno
l No hay órbitas: hay “nubes” estáticas de probabilidad.
l Energías posibles son valores discretos.
l Cada estado del electrón está indicado
por “Números Cuánticos”:
l
No. principal
Momentum angular
orbital
n = 1,2,3,...
l = 0,1,2,3,...,n − 1
m = −l, −l+1, ..., 0,..., l−1, l
n,l,m,m s
Para n dado,
hay 2n 2 estados posibles.
Spin
m s
= − 1 2 , + 1 2

Atomos. Se agradece a:
l Demócrito
l John Dalton
l Dmitri Mendeleev
l Albert Einstein
l J.J. Thomson
l Ernest Rutherford
l Niels Bohr
l Werner Heisenberg
l Erwin Schrödinger
l Wolfgang Pauli
l Friedrich Hund
l Georg Uhlenbeck
l Otto Stern

Atomos con varios electrones
l Elementos químicos:
¡ NUMERO ATOMICO
(Nº de protones en el núcleo): Z
= Nº de electrones en átomo neutro
¡ Z define al ELEMENTO QUIMICO.
l Z=1: Hidrógeno
l Z=2: Helio
l Z=3: Litio
l etc…

Energía y Estados de electrones en
átomos
l Cada electrón está en un estado único
(n,l,m,m s
)
l Principio de Exclusión (Wolfgang Pauli)
“dos electrones no pueden
ocupar un mismo estado”.
l Energía del estado depende de
(no sólo de n , debido a
repulsión entre electrones)
n,l : E n,l

Energía y Estados de electrones en
átomos
l Notación de estado electrónico:
1 H : 1s 1
2 He :1s 2
3 Li : 1s 2 2s 1
4 Be :1s 2 2s 2
5 B : 1s 2 2s 2 2p 1
6 C : 1s 2 2s 2 2p 2
7 N : 1s 2 2s 2 2p 3
l = 0 → "s"
l =1→ " p"
l = 2 → "d"
l = 3→ " f "

Tabla periódica de los elementos

Principio de Exclusión
¿A qué se debe?
l Partículas idénticas:
Probabilidad es simétrica ante intercambio:
P(r 1
,r 2
) = P(r 2
,r 1
)
Función de onda debe ser…
ψ(r 1
,r 2
) = ±ψ(r 2
,r 1
)
r 1 r 2

1 r 2
Partícula 1 en estado A, partícula 2 en estado B…
o al revés…
ψ(r 1
,r 2
) =ψ A
(r 1
)⋅ψ B
(r 2
) ...o ... ψ A
(r 2
)⋅ψ B
(r 1
)??
ψ(r 1
,r 2
) =ψ A
(r 1
)⋅ψ B
(r 2
) ± ψ A
(r 2
)⋅ψ B
(r 1
)
l Bosones (spin entero): +
l Fermiones (spin semi-entero): -
…por eso, A=B es imposible con fermiones idénticos
(principio de exclusión)

Estimación de energías:
Z ef
l Energía de estado
Z ef
Donde :
carga del núcleo
y electrones internos
≈ Z – (Nº de e- con n menor).
E ≈− Z 2 E
ef 0
n
n 2

Energía de ionización:
l Energía que se debe entregar al átomo
para sacar su electrón más externo
(átomo queda ionizado con Q=+1).
l = energía de enlace del e- más externo.
l En Hidrógeno:
E n=1
= −13.6 eV ⇒
E ion
=13.6 eV
l Qué pasa en los otros átomos?
E n
≈− Z ef
2 E 0
n 2

Energía de ionización:
l Qué pasa en los otros átomos?
l
E ion
aumenta con Z en la misma fila de la Tabla Periodica,
l pero disminuye hacia filas de más abajo…
E n
≈− Z 2 E
ef 0
n 2
l … y es ≈ constante en
la fila de metales de transición
(orbitas 3d son más internas
que 4s
à el e- de ionización es el 4s!)

Tabla de Energías de ionización
1 eV / atomo = 96.3 kJ / mol

Energías de Ionización

Fin de la sección
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