1 Dadas las matrices A, B y C. Comprobar que AB = AC. A

Geometría Vectorial.
Primera Relación de Problemas
(1) (r3) 1 Dadas las matrices A, B y C. Comprobar que AB = AC.
A =
⎛
⎜
⎝
1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
(2) (r7) Dadas las matrices
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ B = ⎝
1 4 1 0
2 1 1 1
1 −2 1 2
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎠ C = ⎝
2 1 −1 −2
3 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
1 2 1 0
1 0 0 1
1 0 0 0
A =
0 1 1 −1
⎜
⎝ 1 2 −1 2
⎟
⎠ H = 0 1 0 0
⎜
⎝ 0 0 1 −1
⎟
⎠ C = 0 1 0 0
⎜
⎝ 0 0 1 0
⎟
⎠
1 1 0 1
0 0 0 0
1 −1 0 0
Se pide:
(a) Calcular una matriz regular Q tal que QA = H.
(b) Calcular una matriz regular P tal que AP = C.
(c) ¿Son H y C equivalentes? ¿Por qué?
(3) (r9) Una matriz cuadrada A ∈ M n (K) es idempotente si verifica
A 2 = A. Razonar que una matriz idempotente distinta de la identidad
no puede ser regular.
(4) (r10) Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro
que aparece.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a 2
⎞
⎟
⎠
(5) (p20) Sean A B matrices cuadradas de orden n, Explicar por qué,
en general, (A + B) 2 ≠ A 2 + 2AB + B 2 y (A − B) 2 ≠ A 2 − 2AB + B 2
y A 2 − B 2 ≠ (A − B)(A + B).
1 Los ejercicios marcados con (p) o (r) están propuestos o resueltos, respectivamente,
en el libro ”Geometría Vectorial” de Merino-Santos
1

(6) (p21) 2 Una matriz se dice idempotente si A 2 = A. Demostrar que
la siguiente matriz es idempotente.
A =
⎛
⎜
⎝
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
⎞
⎟
⎠
(7) (p22) Probar que si A es una matriz idempotente, entonces B = I−A
también lo es y que AB = BA = 0.
(8) (p23) Demostrar que la matriz
( )
2 1
A =
1 2
verifica una ecuación del tipo A 2 + αA + βI = 0, determinando α
y β. Utilizar este resultado para calcular la inversa de A.
(9) (p25) Probar que la suma de matrices simétricas es simétrica. Demostrar
que el producto no lo es en general.
2 Los ejercicios marcados con (p) o (r) están propuestos o resueltos, respectivamente,
en el libro ”Geometría Vectorial” de Merino-Santos
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