Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Probabilidad nula y estructura fina 351
Parece que esta regla abarca la mayoría de los casos que ofrecen
interés, si bien quizá no todos ^°. '
Nuestra regla es aplicable al problema de a^ = «todos los plane*
tas se mueven en circunferencias» y a^ = «todos los planetas se mueven
en elipses», y lo mismo ocurre cuando se comparan Oi y Oj
con Oj = «todos los planetas se mueven en elipses de excentricidad
no nula»: pues pia^) > p(ai) se cumplirá en todos los universos finitos
suficientemente grandes (digamos, de posibles observaciones), en
el sencillo sentido de que hay más posibilidades compatibles con Og
que con a^.
La estructura fina del contenido y de la probabilidad que hemos
discutido no afecta solamente a los límites, O y 1, del intervalo probabilitario,
sino —en principio— a todas las probabilidades comprendidas
entre estos valores. Pues, sean Oj y a^ leyes universales tales que
p(o2) = O y p{a^) •< p{a2), como antes; supongamos que h no está
entrañado por Oj, por Oj, ni por las negaciones de éstas, y que
O < p(b) = r < 1; tenemos entonces,
y, al mismo tiempo,
Tenemos, análogamente,
y, a la vez,
pia^ V 6) = p(a2 V 6) = r
p(ai V 6) -(ai6) = p{a^h) = r
p(a^¿») >~ pia^b),
ya que p{a¡) >. ^(aa), aun cuando —desde luego— p(ai) = ]'(^2) ~ !•
Por tanto, para todo b tal que p{b) = r podemos tener un c^ tal que
p(cj) = p(b) y p(Ci) -< p(b), y, asimismo, un c^ tal que p(c2) = p(b)
ypic,) >~ p(fc).
La situación que acabamos de debatir tiene mucha importancia
para el modo en que se haya de tratar la sencillez o la dimensión de
una teoría: problema del que nos ocuparemos ulteriormente en el próximo
apéndice.
* En el trabajo de JOHN KEMENY, tan sugerente, «A Logical Measure Function»,
en Journal of Symb. Logic 18, 1953, págs. 289 y sigs., se debaten detalladamente
otros problemas relacionados con éstos. El modelo de lenguaje de Kemeny es
el segundo de los tres a que aludo en mi segundo prefacio, y —en mi opinión— el
más interesante de todos ellos, con mucho; mas, como él mismo hace ver en la página
294, es tal, que los teoremas infinitísticos —^por ejemplo, el principio de que
todo número tiene un sucesivo— no pueden ser demostrables en dicho lenguaje: y de
ahí que no pueda contener el sistema usual de la aritmética.
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