Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Deducciones dentro de la teoría formal de la probabilidad 331
Es digno de notarse que (99) necesita A2 : no se sigue de 98, 40 y B2,
ya que es posible que p{a, z) = p{b, z) = O (tal sería el caso, por
ejemplo, si fuese a = z T^ XX).
(100) {{x)(p(a, x) = p(b, x) & p{c, x) = p(d, x))) -> p{ac, y) =
p{bd, y)
99, B2
Valiéndose de (90), (100) y A2, puede ponerse ahora de manifiesto
con toda facilidad que siempre que se satisface la condición
(*) p(a, x) = p{b, x) para todo x perteneciente a S,
es posible sustituir algunas o todas las apariciones de los nombres del
elemento b en cualquier fórmula bien formada del cálculo por un
nombre cualquiera del elemento a, y que en tal substitución no cambia
el valor veritativo de aquélla ; o, dicho de otro modo, que la condición
(*) garantiza la equivalencia en la sustitución de o y 6.
A la vista de este resultado, podemos definir la equivalencia booleana
de dos elementos, a y b, del modo siguiente :
(DI) a = b {x)p(a, x) = p{b,x)
Y de esta definición llegamos inmediatamente a las fórmulas
(A) a = a
(B) a= b -> b -= a
(C) (a = & 6 = c) -> a = c
(D) a ~b-> a puede remplazar a 6 en algunos o en todos los lugares
de una fórmula cualquiera sin que tal cosa afecte a su valor
veritativo. A2, 90, 100.
Podemos introducir también una segunda
(D2) o = 6 + c a =Tc
(D3)
Obtenemos, entonces.
a = be a = 5 + c
definición:
(I) Si a y 6 pertenecen a S, entonces a + b pertenece a S (postulado
3, D2, DI' 90, 100).
(II) Si a pertenece a S, entonces a pertenece a S (postulado 4)
(III) a + b= b + a 93, D2
(IV) (a ^ 6) + c = o + ( 6 + c) 92, D2
(V) a + a = a 94, D2
(VI) ab + aB = a 88, D2
(VII) (Eo)(E6) aj^b
25, 74, 90, DI
Ahora bien, el sistema formado por (A) a (D2) y (I) a (VI) es un
sistema axiomático del álgebra booleana perfectamente conocido, que
se debe a Huntington ^ ; y es sabido que de él son deductibles todas
las fórmulas válidas de dicho álgebra.
" Cf. E. V. HUNTINGTON, Transactions Am. Math. Soc. 35, 1933, págs. 274-304
Kl sislema formudo por (I) a (IV) es cl «cuarto conjunto» de Huntington, descrito
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