Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Deducciones dentro de la teoría formal de la probabilidad 329
(71) p{aa, b) + pida, b) = p{a, b) + p{b, b) 70
(72) p(aa,b) = p{ad, b) = p{B, b) 40, 71, 32
(73) p{aa, b) -)- p{aa, b) =¿ jp(oa, í>) -f- p{aa, b) — 1 -{- p(B, b) 64
(74) pi(aa, 6) = 1 = p(mi, b) 72, 73
De este modo se establece que podemos satisfacer la condición del
postulado PA si hacemos b = aa; y obtenemos, de acuerdo con ello,
(75) p{a) = p{a, aa) = p{a, da) = p{a bb) = p{a, bb) ; 23, 74, PA
esto es, una definición de probabilidad absoluta en una forma más
manejable.
Deducimos luego la ley general de adición:
(76) p{ab, c) = p{a, c) — p{ab, c) -f- p{c, c) 70, 40
(77) piab, c) = p{a, c) — p{db, c) + p{c, c) 76
(78) p{ab,c) = 1 —p(o, c) — p{b, c) + p{ab, c) + p{c, c) 77, 76, 64, 40
(79) /?(a5, c) = p(o, c) + p{b, c) — p{ab, c) 78, 64
Puede verse fácilmente que se trata de una forma de dicha ley si
se recuerda que en nuestro sistema «ab» significa lo mismo que
«a + b» en el sentido booleano. Merece la pena mencionar que (79)
tiene la forma usual: es incondicionada y carece de la parte
«+ p{c, c)», tan desusada; procedamos a generalizarla aún más.
(80) p{bc, ad) = p{b, ad) -f- p(c, ad) —p(bc, ad) 79
(81) p{a be, d) = p{ah, d) + p(ac, d) — p{a{hc), d) 80, B2, 40
Hemos llegado, efectivamente, a una generalización de (79).
Vamos a deducir ahora la ley de distribución : puede obtenerse a
partir de (79), (81) y un lema muy sencillo, (84), al cual propongo
llamar «lema de distribución», que es una generalización de (32)
y (62):
(82) p(a{bc), d) = p{a, (bc)d)p{bc, d) = p({aa){bc), d) B2, 32
(83) p\{{aa)h)c, d) = p{a{ab), cd)p{c, d) = p{{{ab)a)c, d) B2, 62, 40
(84) p{a{bc), d) = p{{ab){ac), d) 82, 83, 62
Este es el «lema de distribución».
(85) p{ab ac, d) = p{ah, d) 4- p{ac, d) —p{{ab){ac), d) 79 (subst.)
Podemos aplicar el «lema de distribución» a esta última fórmula y
a (81), con lo que tenemos:
(86) p(a 5c, d) == p((i6 M, d) 81, 85, 84
Henos, pues, con una forma de la primera ley de distribución, que
puede aplicarse al primer miembro de la fórmula siguiente,
(35') ^ (Ea)p(a,a) = 1 ^ 34'
Véase también (25). Las fórmulas (31') a (35') no pertenecen o ios teoremas
de los siitemcu al u$o.
http://psikolibro.blogspot.com