Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

328 La lógica de la investigación científica
el primer argumeuto (véase, asimismo, la fórmula (g), al comienzo
del apéndice *IV). La ley correspondiente al segundo argumento puede
obtenerse aplicando A2 (si se aplica B2 dos veces a cada miembro
de (62) se llega únicamente a vina forma condicional cuyo antecedente
es (íp{bc, d) 5^ O —^ »).
Voy a ocuparme ahora de generalizar el axioma de complementación,
C (y seré un poco más conciso en mis deducciones de ahora
en adelante).
(63) p{B, b)^ O p{c, b) = 1 7, 23
(64) p{a, b) + p{ci, b) = 1 + p(b, b) . C, 23, 63
Hemos obtenido una forma no condicional del principio de complementación,
C, que voy ahora a generalizar.
Teniendo en cuenta que (64) está incondicionado, y que «a» no
aparece en su segundo miembro, podemos colocar «c» en lugar de
«a» y afirmar:
(65) p{a, b) + p{a, b) = p{c, b) + p{c, b) 64
(66) p{a, bd) + p{E, bd) = p{c, bd) + p{c, bd) 65
Multif)licando por p{h, d),
obtenemos
(67) p{ab, d) + p{db, d) = p{cb, d) + p{ib, d). B2, 66
que es una generalización de (65). Por substitución llegamos a
(68) p{ab, c) -1" p{ab, c) ~- p{cb, c) + p(cb, c) 67
Teniendo en cuenta
(69) p{cb, c) = p{c, c) , 7, Bl, 23, 63
podemos escribir (68) más sucintamente, por analogía con (64):
(70) p{ab, c) + p{üb, c) = p{b, c) + p{c, c). 68, 69, 29
Que es una generalización de la forma incondicionada de C, o sea,
de la fórmula (64) ^.
^ Para deducir (70) necesitamos la fórmula (29) en la forma siguiente:
p{cb, c) = p(h, c),
Apliquemos ahora (40), con lo que obtenemos
(29') p{ab, b) - p{a, b) _ 29, 40
Se trata de otra forma de la ley de redundancia, cuya forma más general es
(29+) p(b, c) = l^p(a5, c)=p(c, c), y por tanto p{ab,c) =p(a,c) 64, 70, 40
A éstas podemos añadir la ley de idempotencia para el segundo argumento:
(30') p{ab, b) = p(a, bb) = p(fl, 6). B2, 25, 29'
Además, a partir de (30) obtenemos, por substitución,
(31') p{a, aá) = 1 30
y, análogamente, de (28') :
(32') p(5, aíi) 28
Esto nos consigue,
(33') p(a, bb) == 1 31' 32', C
Tenemos, por tanto,
(34') (E6)(a) p(«, b) =. 1 33'
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