Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

APÉNDICE
*V.
Deducciones dentro de la teoría formal
de la probabilidad
Me propongo dar en este apéndice las deducciones más importantes
del sistema de postulados que se ha expuesto en el apéndice *IV.
Voy a moslrar cómo se obtienen las leyes de los extremos superior
e inferior, las de idempoteacia, conmutación, asociación y distribución,
así como una definición más sencilla de la probabilidad absoluta
; e indicaré también de qué forma es deductible dentro de este
sistema el álgebra booleana. En otro lugar se estudiará todo ello
más a fondo.
Emplearé una flecha, «... -^...B, como abreviación de «si ..., entonces
...», una doble flecha, «......yí, para «... si y sólo si ...»,
«&» en substitución de «y», «(Ea) ...» en lugar de «existe en S un a
tal que ...», y «(a) ...» remplazando a «para todo a de S, ,..».
Primeramente, enuncio de nuevo el postulado 2 y los seis axiomas
operativos que citaremos en las demostraciones (los demás postulados
se utilizarán sólo implícitamente: incluso el postulado 2 se empleará
nada más que una vez, en la demostración de 5). Al leer los axiomas
A3 y C debe tenerse en cuenta una relación que demostraré pronto
(véase la fórmula 23) : p{a, a) = 1.
Postulado 2. Si a y b pertenecen a S, entonces p{a, b) es un número
real.
Al
{Ec){Ed)pia,b)^p{c,d).
A2
{{c){p{a, c) = p{b, c)) -> pid, a) = p{d, b).
A3 p{a, a) = p(b, b).
Bl
p{ab, c) (a, c).
B2
p{ab, c) = p{a, bc)p{b, c).
C p{a, a) 7^ p{b, a) -» p(a, a) = p{c, a) -f p{c, a).
Procedo ahora a realizar las deducciones.
(1) p{a, a) = p{b, b) = k Abreviación basada en A3
(2) p({aa)a, a) < p{aa, a) < p{a, a) = k Bl, 1
(3) p{{aa)a, a) = p{aa^ aa)p{a, a] = k^ B2, 1
(4) F < fc 2, 3
(5) O < /c < 1 4 (y postulado 2)
(6) k 7^ p{a, b) ~> k = k + p(B, b) C, 1
(7) fe 7^ p{a, b) -> p(E, /)) ==0 6
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