Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

324 La lógica de la investigación científica
tivo, de modo que su compatibilidad necesitará siemipre ser demostrada
por un método parecido al nuestro. Dicho de otra forma: la
demostración de la independencia del axioma de Kolmogorov tendrá
que emplear un ejemplo que se encuentre basado, en lo esencial, en
una definición (booleana) de producto como la nuestra, en lugar de
estarlo en una definición de teoría de conjuntos.
Aun cuando todo campo boreliano de probabilidades en el sentido
de Kolmogorov lo es también en el nuestro, no ocurre a la inversa.
Pues podemos construir un sistema, S^, que sea exactamente como S^,
en el que también esté omitido « = (a, 3^] y que contenga, en su lugar,
el intervalo abierto g ~ {a, ]^), con p(g) = |/2 ! ^Ig» arbitrariamente,
definimos ahora g ~ u — g = (}/2, l]yit— (g + g) = MM (en vez
del punto Y'^)- Se ve fácilmente que S^ es un campo boreliano en
nuestro sentido, con g como elemento producto de A; pero no en el
sentido de Kolmogorov, ya que no contiene el producto de teoría de
conjuntos de A: luego nuestra definición permite una interpretación
por un sistema de conjuntos que no sea un sistema boreliano, y en el
que el producto y el complemento no sean exactamente el producto
y el complemento de teoría de conjuntos. Así pues, nuestra definición
es más amplia que la de Kolmogorov.
Nuestras demostraciones de- independencia de I) y II) arrojan
alguna luz, segi'in me parece, sobre la función que desempeñan estas
definiciones. I) sirve para excluir sistemas tales conio el S,, con objeto
de asegurar que el producto (o límite) de una sucesión decreciente
es adecuado desde el punto de vista de la teoría de la medida :
el límite de las medidas ha de ser igual a la medida del límite. Y el
papel de II) es el de excluir sistemas tales como el Sj, que poseen
sucesiones crecientes sin límites: asegura que toda sucesión decreciente
tiene en S un producto, y toda sucesión creciente una suma.
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