Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 323
a la longitud del intervalo x: entonces queda transgredida nuestra primera
definición I), ya que lím p{a„) — j/^, mientras que el elemento
producto de A (en S) es p(a) ~ 0. Y el ejemplo Sj viola la definición
II), aun cuando satisface (de un modo vacío) la primera.
Si bien el primero de estos ejemplos asienta la independencia
—o, con mayor precisión, la no superfluencia— de nuestra primera
definición (al transgredirla), en la forma que le hemos dado no hace
lo mismo con la independencia del «axioma de continuidad» de Kolmogorov,
al cual es evidente que satisface : pues el semi-intervalo omitido,
s = (0,3/2]' 6*té en S o no, es el único producto de teoría de
conjimtos de A, de modo que para la teoría de conjuntos a = s es verdadera
(pertenezca onoaaS);ya una con a = s tenemos lím p{a„) =
~ p(a). Así pues, se satisface el axioma de Kolmogorov (incluso si
omitimos la condición p{a, a) 7^ O : cf. la nota 13).
En este orden de cosas conviene mencionar que, aunque Kolmogorov
pretende que su «axioma de continuidad» es independiente, en su
libro no logra presentar ninguna demostración de tal cosa. Pero cabe
reestructurar nuestra prueba de independencia de suerte que se haga
aplicable al axioma de Kolmogorov y a su planteamiento dentro de
la teoría de conjuntos: lo cual puede hacerse eligiendo —en vez de
nuestro Sj— un sistema S3 de intervalos exactamente como el Sj, pero
que esté basado en una sucesión C = Cj, Cj, ..., definida por medio
de c„ = (O, 2'"], en lugar de estarlo en la sucesión A = a^, a^, ..., que
tiene a„ = (O, ^4 '^ 2"]. Podemos mostrar ahora la independencia
del axioma de Kolmogorov definiendo las probabilidades de los elementos
de la sucesión C del modo que sigue:
p(c„) = l{c„) + 1/2 = p{a„)
en donde l(c„.) es la longitud del intervalo c„. Esta definición es notablemente
anti-intuitiva, ya que —por ejemplo— asigna la probabilidad
uno a cada uno de los dos intervalos (O, i^] Y (^1 1]' 7' P°^ tanto,
la probabilidad cero al intervalo (147 1]; y el hecho de que viole
el axioma de Kolmogorov (con lo cual establece su independencia)
está estrechamente relacionado con aquel carácter anti-intuitivo : pues
lo viola por ser lím p(c,) = % ^"^ cuando p(c) = 0. Debido al carácter
mencionado, la compatibilidad de este ejemplo dista mucho de
ser evidente, de modo que surge la necesidad de demostrarla si se
quiere asentar la validez de la prueba de la independencia del axioma
de Kolmogorov.
Mas no ofrece dificultad demostrar tal compatabilidad si tenemos
en cuenta nuestra demostración anterior de independencia —esto
es, la de nuestra propia definición valiéndonos del ejemplo Sj. Pues
las probabilidades p(a„) y p(c„) de los dos ejemplos S^ y S3 coinciden;
y como al hacerse corresponder las dos sucesiones A y C podemos
establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos de S^
y Sj, la compatibilidad del primer sistema demuestra la del último.
No cabe duda de que cualquier ejemplo que demuestre la independencia
del axioma de Kolmogorov ha de ser igualmente anti-intuihttp://psikolibro.blogspot.com