Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

322 La lógica de la investif^ación científica
Es posible definir ahora como sigue un «sistema admisilile S»
y un «campo boreliano de probabilidades S».
I) Se dice que un sistema S que satisface los postulados 2 a 4
es un sistema admisible, si y sólo si S cu.-nple —además de nuestro
conjunto de postulados— la siguiente oondirión definitoria:
Sea f)A = a^h, a^b, ..., una sucesión decreciente cualquiera de elementos
de S (decimos, en este caso, que A = a^, a^, ..., «decrece con
respecto a b»); entonces, si el elemento producto ah de esta sucesión
pertenece a S ^^,
lím p{a„, b) = p{a, b).
II) Se dice r-ie un sistema admisible S es un campo boreliano
de probabilidades si y sólo si en S se encuentra un elemento producto
de cualquier sucesión decreciente (absoluta o relativamente) de elementos
de S.
De estas dos definiciones, la I) corresponde exactamente al llamado
«axioma de continuidad» de Kolmogorov, mientras que la II) desempeña
en nuestro sistema un papel análogo a la definición kolmogoroviana
de campos borelianos de probabilidad.
Puede ponerse ahora de manifiesto que siempre que S sea un
campo boreliano de probabilidades en el sentido de Kolmogorov, también
lo será en el sentido que aquí hemos definido, y la probabilidad
será una función de medida computablemente aditiva de los conjuntos
que constituyen los elem,entos de S.
Las definiciones de sistem^a admisible y de campo boreliano de
probabilidades están estructuradas de tal modo que todos los sistemas S
que satisfacen nuestros postulados y que contienen no más de un número
finito de elementos diferentes son sistemas admisibles y campos
borelianos; y, por tanto, nuestras definiciones tienen interés solamente
en lo que se refiere a sistemas S que contengan un número infinito
de elementos diferentes: estos sistemas infinitos pueden satisfacer
o no una condición definitoria, o la otra, o ambas; o, dicho de
otro modo, las condiciones mencionadas no son redundantes —o sea,
son independientes— para sistemas infinitos.
Valiéndose del ejemplo, Sj, del semi-intervalo omitido —que hemos
dado más arriba— puede demostrarse esta no redundancia
con la máxima facilidad, en lo que se refiere al) •—dada en la forma
indicada en la nota 13 a pie de página—. Todo lo que hay que hacer
es definir la probabilidad, p{x), haciéndola igual a l{x), es decir.
Podría haber añadido, «y si p(o5, ab) y¿ O, de modo que ab sea vacío»: con
ello, mi formulación se hubiese acercado aún más a la de Kolmogorov; pero no es
necesaria esta condición. Quiero señalar aquí que me ha alentado mucho la lectura
del interesantísimo trabajo de A. RÉNTI «On a New Axiomatic Theory of Probabilily»,
en Acta Mathematica Acad. Scient. Hungariae 6, 1955, págs. 286-335: aun
cunndo hace varios años que me había dado cuenta de que era menester relativizar
el sistema de Kolmogorov, y aunque había señalado en varias ocasiones algunas de
la» ventajas matemáticas de un sistema relativizado, nolo mo he percatado de hasta
que punto podría ser fértil dicha relativización gracias al trabajo de Rényi.
http://psikolibro.blogspot.com