Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 321
Con objeto de poner de manifiesto la diferencia existente entre
nuestro elemento producto (booleano), a, de A, y el producto —o encuentro—
(interno) de teoría de conjuntos (también de A), vamos a
limitar ahora nuestra discusión a ejemplos S que satisfagan nuestros
postulados 2 a 5 y cuyos elementos x, y, s, ..., sean conjuntos, de suerte
que xy sea su producto de teoría de conjuntos.
Nuestro ejemplo principal, al cual me referiré como «el ejemplo
del semi-intervalo omitido», es el siguiente :
SI es un sistema de ciertos subintervalos semiabiertos del intervalo
universal u = (O, 1], y contiene precisamente, a) la sucesión decreciente
A tal que a„ = (O, ^4 + 2"], y, además, b) los productos
de teoría de conjuntos de dos cualesquiera de sus elementos y los
complementos de teoría de conjuntos de cualesquiera elementos suyos.
Así pues, Sj no contiene el «semi-intervalo» s = (O, 5/2]' ^^ tampoco
ningún subinlervalo no vacío de s.
Puesto que el semi-intervalo omitido, s = (O, j/2] ^^ ^^ producto
de teoría de conjuntos de la sucesión A, es evidente que S^ no contiene
semejante producto. Pero contiene, en cambio, el «elemento producto»
(booleano) de A, tal como lo hemos definido: pues el intervalo
vacío satisface de un modo trivial la condición I), y por ser el
intervalo más amplio que la satisface, también satisface II).
Es, asimismo, obvio que si añadimos a S,, digamos, uno cualquiera
de los intervalos b^ = (O, ^/g], 62 ~ (O//16 ]' ^^'^••< ^^ mayor de ellos
será el elemento producto de A, en el sentido (booleano) de nuestra
definición, aun cuando ninguno será el producto de teoría de conjuntos
de A.
Podría pensarse por un momento que, debido a la presencia de
un elemento vacío en todo S, cada S habría de contener —del mismo
modo que Si—• un elemento producto (en el sentido de nuestra definición)
de cualquier A de S : pues, en caso de que no contenga un
elemento más amplio que satisfaga I), el elemento vacío podría cumplir
siempre ese papel. Pero puede verse que no ocurre así por medio
de un ejemplo, Sj, que contenga, además de los elementos de S^, los
dé la sucesión B = b^, b^, ..., en donde 6» = (O, (2"— l)/2" + ^] (y,
aún más: los productos de teoría de conjuntos de dos elementos cualesquiera,
y el complemento de teoría de conjuntos de cualquier elemento):
se observa fácilmente que, aunque todo 6„ satisface la condición
I) para el elemento producto de A, ninguno de ellos cumple
la II), de suerte que —en realidad— no existe en S2 un elemento
más amplio que cualquier otro, que satisfaga la condición I) para el
elemento producto de A.
Así pues, Sj no contiene ni el producto de teoría de conjuntos
de A ni un elemento producto en el sentido (booleano) que empleamos
nosotros. Pero tanto S^ como todos los sistemas que se obtienen
añadiendo a Sj un número finito de intervalos nuevos (más los productos
y complementos), contendrán un elemento producto de A en
nuestro sentido, si bien no en el de teoría de conjuntos —a menos,
ciertamente, que añadamos a Sj el semi-intervalo omitido, s = (O, }/2].
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