Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

320 La lógica de la investigación científica
noma es una propiedad interesante (y deseable) de los sistemas axiomáticos
para el cálculo de probabilidades ^°.
Como conclusión, quiero definir un «sistema admisible» S y un
(¡.campo boreliano de probabilidades^ S, a base de las nociones «autónomas»
—esto es, probabilísticas— de nuestra teoría. El segundo sentido
de S lo he expresado con un término de Kolmogorov, al cual doy,
sin embargo, un significado algo más amplio que el suyo : estudiaré
con cierto detalle la diferencia existente entre el modo de tratar el
asunto de Kolmogorov y el mío, pues me parece que es reveladora.
Defino primeramente en términos probabilísticos qué es lo que
quiero mentar cuando digo que a es un superelemento de h (y más amplio,
o bien igual a 6), o que b es un subelemento de a (y lógicamente
más fuerte o igual que a). La definición es como sigue (véase también
el apéndice *V, D3, pág. 331):
a es un superelemento de fe, o fe es un subelemento de o —con
símbolos, a > fe— si y sólo si p{a, «) > p(fe, x) para todo elemento
X de S.
Ahora voy a definir lo que quiero decir con el elemento producto,
o, de una sucesión infinita, A = Oj, Ca, ..., tal que todos sus miembros,
a„, sean elementos de S.
Ordenemos algunos de los elementos de S —o quizá todos— en
una sucesión infinita A = a^, a^, ..., en la que se permita a todo elemento
de S aparecer más de una vez. Por ejemplo, si S consta sólo de los
dos elementos O y 1, tanto A = O, 1, O, 1, ..., como B = O, O, O, ...,
serán sucesiones infinitas de elementos de S en el sentido a que ahora
nos referimos; pero el caso más importante, naturalmente, es el de
una sucesión infinita A tal que todos sus miembros (o casi todos) sean
elementos diferentes de S; que, por tanto, contendrá un número infinito
de elementos.
Un caso que tiene especial interés es el de una sucesión infinita
decreciente (o, mejor dicho, no creciente), o sea, una sucesión A = Oj,
Oj, ..., en la que a„ > p{a, x) para todos los elementos a„ de A y para
todo elemento a de S.
II) p{a, «) > p(fe, x) para todos los elementos :«; de S y para
todo elemento fe de S que satisfaga la condición p(o„, y) >
> p(fe, y) para todos los elementos a„ y para todo elemento
y de S.
" En el apéudicc *V estudiamos lo que ocurre cuando se pide algo mucho más
enérgico que la independencia autónoma: a saber, que el sistema sea «completaruente
métricoy).
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