Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 319
La redundancia de los sistemas usuales se debe al hecho de que
todos ellos postulan, implícita o explícitamente, la validez de algunas
o de todas las reglas del álgebra booleana para los elementos de S ;
pero —como demostraremos al final del apéndice *V— todas estas
reglas son deductibles de nuestro sistema si definimos la equivalencia
booleana, «a = b», por la fórmula
(*) a = í> si y sólo si p{a, c) = p{b, c) para todo c perteneciente a S.
Puede preguntarse si resultaría superfino alguno de nuestros axiomas
si postulásemos que ab fuera un producto booleano y a un complemento
booleano, que ambos obedecieran a todas las leyes del álgebra
booleana y que (*) fuese válida. A ello hay que responder que
ninguno se convertiría en superfluo, excepto Bl'; solamente en el caso
de que, además, postulásemos que en el segundo argumento de la función
p pudieran substituirse mutuamente dos elementos cualesquiera
para los que cupiese demostrar la equivalencia booleana, se haría superfluo
A2, cuya finalidad es precisamente la misma que la de semejante
postulado suplementario. Puede verse que nuestros axiomas
continuarían sin ser superfinos advirtiendo que es posible demostrar
su independencia (excepto la de A2, desde luego), por medio de ejemplos
que satisfagan al álgebra booleana : así he hecho para todos ellos,
con la excepción de Bl y C, para los que he presentado ejemplos más
sencillos; y doy a continuación un álgebra booleana que manifiesta la
independencia de Bl —y de A4''—: este ejemplo es esencialmente el
mismo que el último presentado :
ah
—1
0
1
2
a
—1
0
1
—1
0
—1
0
0
0
—1
0
1
0
0
2
2
1
0
p{a) = a;
pa, (0) = 1;
en todos los demás casos,
p(a, h) = p{ab)lp{b) == ah¡b
2
0
0
2
2
—1
Bl queda violado, ya que 2 = p(1.2, 1) > ^(l, 1) = 1-
Para demostrar la independencia de C tomamos el mismo ejemplo,
pero en el que sea p{a, b) = O siempre que ab = Q v^ b (y sea
p(a, 6) = 1 en los demás casos) ; o podemos también adoptar el ejemplo
de la página anterior, en el que se tenga p(l) = jp(2) = O, o bien
p(l) = p(2) = l.
Cabe expresar el hecho de que nuestro sistema permanezca independiente
incluso si postulamos el álgebra booleana y (*), diciendo
que es «autónomamente independiente» (como es natural, si sustituimos
nuestro axioma Bl por A4' y Bl' —véase la nota 6 anterior— deja
de poseer esta característica). Me parece que la independencia autohttp://psikolibro.blogspot.com