Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

318 La lógica de la investigación científica
no o + h. Entonces se viene abajo el postulado 2, mientras que Al,
A2, A3 y todos los demás axiomas y postulados se convierten en teoremas
muy conocidos del álgebra booleana ".
Las demostraciones de la independencia de las partes existencia-
Íes de los postulados 3 y 4 son casi triviales. Introducimos primeramente
un sistema auxiliar, S' — -j O, 1, 2, 3 [-, y definimos el, producto,
el complemento y la probabilidad absoluta por medio de la matriz:
ah
0
1
2
3
a
LP(«)
0
0
0
0
0
3
0
1
0
1
0
1
2
1/2
2
0
0
2
2
1
1/2
3
0
I
2
3
0
1
Se define la probabilidad relativa por
p{a, h) = \
siempre que p{b) = O
p{a, h) == p{ab)lp{b) siempre que p{b) ^ 0.
Este sistema S' satisface todos nuestros axiomas y postulados. Para
hacer patente la independencia de la parte existencial del postulado 3
adoptamos ahora un S que esté confinado a los elementos 1 y 2 de S',
y no alteramos en nada lo demás: es evidente que no se cumple el
postulado 3, ya que el producto de los elementos 1 y 2 no pertenece
a S. Podemos demostrar de un modo semejante la independencia del
postulado 4, sin más que reducir S a los elementos O y 1 de S' (podríamos
elegir, asimismo, 2 y 3, o cualquier combinación formada
con tres elementos de los cuatro de S', exceptuada la consistente en
1,2 y 3).
La demostración de la independencia del postulado PA es todavía
más trivial: sólo necesitamos interpretar S y p{a, b) en el sentido
de nuestra primera demostración de compatibilidad, y hacer p{a) =
= constante (por ejemplo. O, 1/2, 1 ó 2), para llegar a una interpretación
en la que falla dicho postulado.
Así pues, hemos demostrado que cada una de las aserciones que
hemos hecho en nuestro sistema axiomático es independiente. (No ha
llegado a mi conocimiento que se hayan publicado antes demostraciones
de independencia para sistemas axiomáticos de la probabilidad:
supongo que la razón es que los sistemas conocidos no son independientes,
y eso en el supuesto de que sean satisfactorios por lo demás.)
'" Una leve variante do esta interpretación transforma todos los axiomas en tautologías
del cálculo proposicional, que satisfacen todos los postulados, salvo el 2.
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