Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 317
ah
0
1
2
a
0
1
0
0
1
1
0
1
2
0
PÍO, 2) = 0;
en todos los demás casos,
p{a, 6) = 1
2
0
1
2
0
Bl deja de cumplirse para a — O, b = lyc = 2.
Para demostrar la independencia de B2 tomamos el mismo S que
utilizamos con respecto a A3, y definimos: p(0, 1) = O, y en los casos
restantes p{a, b) = 2. B2 no se cumple, ya que 2 = p(l.l, 1) 5^
7^ p{l, l.l)p(l, 1) — 4, pero los demás axiomas sí.
(Podemos tener otro ejemplo que haga visible la independencia
de B2 si consideramos que este último axioma se necesita para demostrar
í(p{ba, c) < p(a, c)», es decir, el dual de Bl; esto nos sugiere
que es posible adoptar el segundo ejemplo de Bl, sin más que pasar
el valor de 1.0 de O a 1, y el de 0.1 da 1 a O ; entonces B2 no se cumple
para a=l, b~0yc~2. (Véase también la nota *2 de la página
299, ejemplo correspondiente a Al ; y puede asimismo utilizarse
el ejemplo para A2.)
Finalmente, con objeto de poner de manifiesto que C es independiente,
tomamos de nuevo el último S adoptado, pero suponemos que
d = a. Si hacemos ahora p(0, 1) = O, y en los casos restantes
p{a, b) = 1, entonces falla C, ya que p{Q, 1) 5^ p(l, 1), a la vez que
se cumplen los demás axiomas.
De este modo se terminan las demostraciones de la independencia
de los axiomas operativos.
En cuanto a la parte no operativa de los postulados, hemos dado
ya una demostración de la independencia del postulado 1 (al comentarlo).
En su parte no operativa, el postulado 2 exige que siempre que
a y b pertenezcan a S, p(a, b) sea un número real. Para hacer ver la
independencia de esta condición —a la que podemos referirnos sucintamente
llamándola «postulado 2»— consideramos, en primer lugar,
una interpretación booleana no numérica de S. Con este fin, interpretamos
S como un álgebra booleana no numérica y —como máximo—
numerable (tal como un conjunto de enunciados, en el que
«a», «fo», etc., sean nombres de enunciados variables); estipulamos
que «XB denote, si x es un número, lo mismo que «—xy>, y si a; es un
elemento booleano (digamos, un enunciado), el complemento booleano
(negación) de :«; y determinamos que ««y», «x + y», «x = y»,
«XT^y» y «.X < y» tengan su sentido aritmético acostumbrado cuando
« e y sean números, y su sentido booleano perfectamente conocido
siempre que x e y sean elementos booleanos (si son enunciados, habría
que interpretar «x < y» como «x entraña y»). Para demostrar la ind(!pcn(l('ncia
del postulado 2 hasta añadir meramente un requisito
más: interpretamos v.p(a, b)» como nuevo nombre del elemento booleahttp://psikolibro.blogspot.com