Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

316 La lógica de la investigación científica
nifiesto que el producto ah ha de ser no conmutativo; cabe definirlo,
pues, como sigue: 1.2 = 2, y, en todos los demás casos (incluyendo
el de 2.1), ah es igual a min{a, b) •—esto es, al menor de los dos componentes
a y b. Definimos también : a = 1 si y sólo si a = O, y, en los
demás casos a = 0; y, asimismo, p(0, 2) — O, mas en todos los casos
restantes p{a, b) = 1, Ahora puede hacerse ver con facilidad que
p(l, i») = p(2, b ) para todo b, mientras que p(0, 1) = 1 y p(0, 2 ) = O :
de suerte que no se satisface A2, pero sí los demás axiomas.
Podemos hacer intuitiva esta interpretación escribiendo la matriz
no conmutativa del modo siguiente:
ab
0
1
2
a
0
1
0
0
0
1
0
2
1
0
p(0, 2) = 0;
en todos los demás casos,
p{a, b) = 1
2
0
1
2
0
Vamos a poner en claro que A3 es independiente: como en la primera
demostración de compatibilidad, tomamos S = •{ O, 1 ¡-, y los
productos y complementos lógicos iguales a los aritméticos. Definimos
p(l, 1) = 1, y, en todos los demás casos, p(a, b) = O : A3 falla
porque p(l, 1) 7^ p(0, 0) (mientras que se satisfacen los demás
axiomas).
Para patentizar la independencia de Bl, podemos adoptar S =
= -{ —1, O, + Ij-; admitimos, además, que ab es el producto aritmético
de a y ?>, así como o, = —a y p(a, b) = a.(l — |6|). Entonces
se satisfacen todos los axiomas, salvo Bl, que no se cumple para
a = — 1, í>5^-t-lyc = 0. Las matrices pueden escribirse así:
ab
—1
0
+1
a
p{a, b)
—1
0
+1
—1
+ 1
0
—1
+ 1
—1
0
—1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+ 1
—1
0
+1
—1
+ 1
0
•+1
0
Este mismo ejemplo demiiestra la independencia de A4' (cf. la
nota 6 anterior). Un segundo ejemplo, con el que se hace ver que Bl
es independiente (y también que Bl' lo es), se basa en la siguiente
matriz no conmutativa;
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