Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de probabilidad 315
(le las sumas booleanas la suma aritmética de las probabilidades correspondientes,
y a uno de los complementos booleanos el complemento
aritmético con respecto a 1. Obsérvese que podemos asignar a una
o varias de las zonas o clases mutuamente excluyentes y mínimas
•—pero no nulas— la probabilidad cero: si 6 es una de estas clases
—o zonas—, hacemos p{a, 6) = O en caso de que sea afe = O, y
p(a, fe) = 1 en los demás casos; y, además, hacemos p{a, 0) = 1;
mientras que en todos los casos restantes ponemos p{a, b) —
= p(ab)/p(b).
Para mostrar que nuestro sistema es compatible incluso en el supuesto
de que S sea infinito numerable, podemos elegir la siguiente
interpretación (que tiene interés por estar relacionada con la interpretación
frecuencial). Sea S la clase de las fracciones racionales en
representación diádica, de modo que si a es un elemento de S, podamos
escribir en forma de sucesión, a = a^, Oj, ..., en la que o, sea
ó O ó 1. Interpretamos ab como la sucesión ab = a^b^^, tijfejí •••»
de
modo que (ab), = Ojé,; y a. como esta otra, a = 1—a^, 1—Og, ..., con lo
que a, = 1—a,. Para definir p{a, b) introducimos una expresión auxiliar,
A„, definida del modo siguiente :
A„ = S ttj
n
de suerte que tenemos
(AB)„ = I a,f.,;
definimos, además, una función auxiliar, q :
g(o„, 6„) = 1 siempre que B„ = O
?(«», ^n) = (AB)„/B„, siempre que B„ ^ 0.
Podemos definir ahora, por fin,
p{a, b) = límg(a„, b„).
Este límite existe para todos los elementos a y 6 de S, y es sumamente
fácil hacer patente que satisface todos nuestros axiomas. (Véanse los
puntos 8 a 10 del apéndice *VI, en que se da otro ejemplo.)
Con lo cual hemos terminado con la compatibilidad de nuestros
sistemas axiomáticos.
Para hacer ver la independencia de Al podemos hacer p{a, 6) = 1
para todo o y todo fe de S: entonces se satisfacen todos los axiomas,
excepto Al.
Para mostrar la independencia de A2 suponemos ^° que S consta
de tres elementos: S = -jO, 1, 2\. No ofrece dificultad poner de ma-
" Teniendo en cuenta lo que se ha dicho antes acerca de A2, es claro que el
problema de demostrar su independencia equivale al de construir un ejemplo (una
matriz) que sea no conmutativo y de combinarlo con una regla numérica acerca de
los valores de p que asegure que sólo el segundo argumento viola la ley de conmutación.
La demostración de independencia de A2 que doy aquí, ideada para satisfacer
ratas condiciones, fue encontrada simultáneamente por el doctor J. Agassi y por
mí mismo (este ejemplo snliífaec el postulado PA solamente si en dicho postulado
le oolooa una raya encima do cada letra b; pero satisface la definición (.) do la
página 313).
http://psikolibro.blogspot.com