Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 313
debilitada de) algo que parece ser una fórmula evidente si se tiene
en cuenta que 1 = p(a, a), a saber: «p(a, c) + p{a, c) = 1». Se necesita
la condición que precede a esta fórmula porque en caso de que c
sea, digamos, aa (el «elemento vacío»), obtenemos p(a, c) = 1 =
= p(a, c) : de modo que en este caso límite la fórmula aparentemente
«evidente» falla.
Este postulado —o el axioma C— tiene el carácter de una definición
de p{a b) a partir de p{a, b) y p{a, a), como puede verse fácilmente
si lo escribimos del modo siguiente:
(I)
p(o, b) = p{a, a) — p(a, b), supuesto que haya un c tal que p(c, b) 7^
p(a, a)
(II) p{a, b) = p(a, o), supuesto que no exista tal c.
La fórmula que vamos a dar ahora, CD, es análoga a BD y puede
transformarse en un bicondicional, exactamente lo mismo que ocurría
con esta última.
CD p{x,a) i=jp(j,a) —* {b)[c){p{x,a) + p{y,a) ?^p{b,b) -^p{c,a)=p{b,h))
A mi juicio, el sistema formado por A, BD y CD es un poco preferible
al de Al, B y C+, no obstante la complejidad de BD.
Por fin, el postulado PA puede sustituirse por la sencilla definición
(•)
p{a) = p{a, aa)
la cual, sin embargo, utiliza la complementación y el prodvicto, y,
por ello, presupone los dos postulados 3 y 4 (deduciremos esta fórmula
más adelante, en el apéndice *V, llamándola fórmula 75).
Puede demostrarse que nuestro sistema es compatible: podemos
construir sistemas S de elementos (con un número infinito de elementos
distintos, pues si S es finito la demostración es trivial) y una
función p{a, b) tal que se demuestre que se satisfacen todos los axiomas.
También es posible demostrar que nuestro sistema axiomático
es independiente. Debido a lo poco exigentes que son los axiomas, las
demostraciones son muy fáciles.
Llegamos a una demostración trivial de la compatibilidad de un S
finito asumiendo que S = -jl, Oj-: esto es, que S consta de dos elementos,
1 y 0. Se admite que el producto —o encuentro— y el complemento
son, respectivamente, iguales al producto y el complemento
(con respecto al) aritméticos; definimos p(0, 1) = O, y en todos los
demás casos hacemos p{a, b) = 1; entonces quedan satisfechos todos
los axiomas.
Daremos dos interpretaciones finitas más de S antes de entrar en
ana que sea infinita numerable; las cuales no sólo satisfacen nuestro
sistema axiomático, sino -—por ejemplo— la siguiente aserción existencial;
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