Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 311
y el complemento aparece una sola vez; pero personalmente yo prefiero
el de seis axiomas, con ser más largo ^.
Podemos comentar ahora Ins diversos postulados y axiomas de
nuestro sistema.
Cabe omitir el postulado 1 (que pertenece solamente a la teoría
elemental), como se observa teniendo en cuenta que, para demostrar
su independencia, podemos construir un sistema S que no sea numerable
—se satisfacen todos los demás postulados si interpretamos S
como el conjunto de todas las sumas finitas de subintervalos semiabiertos,
[x, y), del intervalo unidad, [O, 1), siendo x e y números
reales; podemos interpretar entonces p(a) como la longitud de dichos
intervalos, y p{a, b) como igual a p{ab)/p{b) supuesto que p{b) ^ O,
e igual a 1 supuesto que í) = O: en otro caso, sería lím p{ab)/p{b),
supuesto que existiera este límite—. La finalidad del postulado 1 es
únicamente la de caracterizar los sistemas elementales: en la exposición
axiomática del álgebra booleana o de la lógica de enunciados
o de proposiciones se asume a menudo un postulado de esta índole,
y queremos poder poner de manifiesto que en la teoría elemental, S es
un álgebra booleana (numerable). (Véanse los puntos 8 a 10 del apéndice
*VI, que señalan otro ejemplo.)
En el postulado 2 se necesita Al para estatuir que no todas las
probabilidades son iguales (digamos, iguales a O o a 1). La función
que desempeña A2 es la de permitirnos demostrar ap{x, o) = p{x, 6)»
para todos los elementos a y b cuyas probabilidades sean iguales supuesta
cualquier condición: cabe lograr lo mismo sin A2, pero sólo
en el supuesto de que p{a) 5^ O 7^ p(^)- -A^sí pues, A2 nos hace capaces
de ampliar la equivalencia probabilística de a y b al segundo
argumento, incluso en los casos en que a y b tengan probabilidad absoluta
nula.
Puede remplazarse A2 por la fórmula algo más exigente
A2+ Sip{a, a) = p{b, c) = p{c, b), entonces p{a, b) = p{a, c), para todo
c de S;
o por
B3
Si p{ah, c) = p{ba, c), entonces p{c, ab) = p{c, 6a).
Es evidente que también podría remplazársela por esta otra (que
es más sencilla, pero mucho más exigente) :
B3+ p{a, be) = p{a, cb).
Pero como B3+ pide más de lo necesario —en realidad, bastaría con
p(a, (be) (cb)) — p{a, (cb) (be)), pese a ser más débil— es algo engañosa
: al adoptarla quedaría oculto el hecho de que puede demostrarse
la ley de conmutación para el primer argumento con sólo los
He aquí tres de las razones por que prefiero el sistema de seis axiomas al de
cuatro: I) los axiomas del sistema más largo son algo menos desusados, y, por tanto,
más intuitivos, especialmente en la forma mencionada en la nota anterior 6; II) para
leduciE el número de axiomas se introduce una variable suplementaria, lo cual os
pagar un precio demasiado caro; III) la «organicidad» de B+ se logra por una rsp;'-
pie de truco mecánico, y de ahí que tenga poco valor,
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