Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 309
definido: es la «probabilidad absoluta de a», que denotamos con
«p{a)y>.
Cada concepto no definido se introduce por un postulado. Y para
entender éstos conviene tener presente que p(a, a) — 1 ~ p(b, b) para
todos los elementos de S, como puede demostrarse, naturalmente, por
medio de los postulados.
Postulado 1. El número de elementos de S es, como máximo,
infinito, pero numerable.
Postulado 2. Si a y 6 pertenecen a S, entonces p{a, b) es un número
real, y se cumplen los siguientes axiomas:
Al Hay elementos c y d en S, tales que p(a, 6) # p(c, d)
(Existencia).
A2 Si p(a, c) = p(b, c) para todo c de S, entonces p(d, a) =
= p(d, b) para todo c? de S (Sustituibilidad).
A3 p(a, a) = p(b, b) (Reflexividad).
Postulado 3. Si a y & pertenecen a S, entonces ab pertenece a S;
y si, además, c también pertenece a S (y, por tanto, asimismo, be),
se cumplen los axiomas siguientes:
Bl p{ab, c) < p(a, c) (Monotonía)
B2 p(ab, c) = p{a, hc)p{b, c) (Multiplicación)
Postulado 4. Si a pertenece a S, entonces a también pertenece
a S; y si, además, b pertenece a S, se cumple el siguiente axioma:
C
p{a, b) + p(«? b) = p{b, b), a menos que p{b, b) = p(c, b) para todo c
de S.
(Comiplementación)
Con esto se termina el sistema «elemental» («elementalidad» referente
a su ampliación para campos borelianos). Como hemos indicado,
podemos añadir ahora la definición de probabilidad absoluta como
quinto postulado —que llamaríamos «postulado PA»— o bien podemos
considerar esta definición como explícita (en vez de como un postulado).
Postulado PA. Si a y b pertenecen a S, y si p(a, a) = p(b, c)
para todo c de S, entonces p(a) = p{a, fe)
(Definición de probabilidad absoluta).
Demostraremos más adelante que el sistema de postulados y axiomas
que hemos dado es compatible e independiente'^.
Vamos a hacer ahora algunos comentarios sobre el sistema de postulados.
Los seis axiomas —Al, A2, A3, Bl, B2 y C—- se emplean explír
citamente en las operaciones de deducción de los teoremas. El resto
(existencial) de los postulados puede darse por supuesto, como se hacía
en el trabajo en que presenté por vez primera este sistema''
' Cf. la nota anterior 1.
' Otro sistema posible es el siguiente: Los postulados son iguales a los del texto,
lo mismo que los axiomas Al y A2, pero los A3 y Bl quedan remplazados por los
tres siguientes;
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