Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

306 La lógica de la investigación científica
asociación— incluso previamente a todo comienzo de desarrollo del
cálculo de probabilidades: pues a partir de
(a)
{ab)c = a{bc)
podemos obtener (f) sin más que sustituir en la identidad
p{x) =
p{x).
Con lo cual no se para mientes en que (f) es deductible de (d)
y (e); o, dicho de otra forma, no se advierte que la asunción de (a)
es completamente innecesaria si trabajamos con un sistema axiomático
que contenga —o implique— (d) y (e) ; ni tampoco que cuando
asumimos (a) además de (d) y (e) nos impedimos averiguar qué
tipo de relaciones están implicadas por nuestros axiomas o postulados;
ahora bien, una de las claves del método axiomático es justamente
averiguar tal cosa.
En consecuencia, tampoco se cae en la cuenta de que (d) y (e),
aunque implican (f) —esto es, una ecuación a base de la probabilidad
absoluta— no implican por sí solas ni (g) ni (h), que son las
fórmulas correspondientes a base de la probabilidad relativa:
(g) p{{ab)c, d) = p{a{bc), d)
(h) p{a, {bc)d) = p{a, b{cd)).
Para deducir estas fórmulas —véase el apéndice *V, (41) a (62)—
se requieren muchas más cosas además de (d) y (e): hecho que tiene
un interés notable desde un punto de vista axiomático.
He puesto este ejemplo para que se viera que Kolmogorov no llega
a llevar a cabo su programa; y lo mismo ocurre con todos los demás
sistemas que han llegado a mi conocimiento. En mis propios sistemas
de postulados para la probabilidad pueden deducirse todos los teoremas
del álgebra de Boole; y ésta, a su vez, puede interpretarse de
muchas maneras: como un álgebra de conjuntos, de predicados, de
enunciados (o proposiciones), etc.
Otro punto de considerable importancia es el problema de un sistema
«simétrico». Tal como hemos dicho más arriba, es posible definir
la probabilidad relativa a base de la absoluta, del modo siguiente
:
(d')
Si p{b) ^7^ O entonces p{a, b) — p{ab) ¡ p{b).
Ahora bien, el antecedente «si p(f>) ^ O» es ineludible, ya que la
división por cero no es una operación definida; por ello, la mayoría de
las fórmulas de la probabilidad relativa pueden expresarse —en los
sistemas al uso— sólo en forma condicional, es decir, análogamente
a (d'). Por ejemplo, en casi todos los sistemas (g) no es válida, y ha
de ser reemplazada por otra fórmula condicional mucho más débil:
(g") Si p{d) ^^ O entonces p{{ab)c, d) = p{a{bc), d)
y es menester también anteponer a (h) una condición análoga.
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