Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Teoría formal de la probabilidad 305
se cumplen para los elementos del sistema : es decir, para los argumentos
de la función p(..., ...).
Una vez hecha esta suposición —ya tácita, ya explícitamente— se
establecen otros axiomas o postulados para la probabilidad relativa,
p{a, b)
o sea, para la probabilidad de a dada la información b ; o bien para
la probabilidad absoluta
p{a)
esto es, para la probabilidad de o (sin que esté dada información alguna,
o solamente tautológica).
Pero este procedimiento es muy capaz de hacer que permanezca
oculto el hecho —tan sorprendente y de tanta importancia— de que
basten algunos de los axiomas o postulados que se adoptan para la
probabilidad relativa p(a, b), para garantizar que los elementos cumplan
todas las leyes del álgebra booleana. Por ejemplo, las dos fórmulas
siguientes (cf. el apéndice precedente, *III):
(d) p{ab) = p{a, b)p{b)
(e) p{ab, c) == p{a, bc)p{b, c)
entrañan cierta forma de ley de la asociación ; de ellas, la primera,
(d), da origen también a una especie de definición de la probabilidad
relativa a base de la absoluta :
(d')
Si p{b) 5^ O, entonces p[a, b) = p{ab) ¡ p{b),
mientras que la segunda, que es la correspondiente a las probabilidades
relativas, es la «ley general de multiplicación», perfectamente
conocida.
Como hemos dicho, las dos fórmulas (d) y (e) entrañan —sin necesidad
de ningún otro supuesto (excepto la posibilidad de sustituir
probahilidtides iguales)— la forma siguiente de la ley de la asociación
:
(f) p{{ab)c) = p{a{bc)).
Pero este hecho ^, tan interesante, pasa inadvertido si se introduce
(f) al asumir la identidad algebraica (a) —o sea, la ley de la
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La deducción es como sigue:
(1) p((ab)c) ^ p(ab, c)p(c) d
(2) p((ab)c) = p(a, bc)p(b, c)p(c) 1, e
(3) p{a{bc)) = p{n, bc)p{bc) á
(4) p(a(bc)) =^ p(a, bc)p(b, c)p(c) 3, d
(5) í.((a¿)c) == pCC-'O) 2,4
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