Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

ArÍNDicE •IV.
Teoría formal de la probabilidad
Teniendo en cuenta que un enunciado probabilitario tal como
(íp(a, 6) — r» puede ser interpretado de muchas maneras distintas,
me ha parecido conveniente construir un sistema puramente «formal»,
«abstracto» o «autónomo», en el sentido de que sus «elementos» (representados
por «a», «fe», ...) puedan interpretarse de muchos modos
diferentes, de modo que no estemos atados a ninguna de estas interpretaciones.
La primera vez que propuse un sistema formal de este
tipo lo hice en una nota publicada en Mind en 1938 (incluida aquí
en el apéndice *I1) ; desde aquella fecha he construido varios sistemas
simplificados ^.
Hay tres características que distinguen una teoría de este tipo de
las demás: I) es una teoría formal, es decir, no supone una interpretación
en particular, aunque permite —por lo menos^ tod^s las
interpretaciones conocidas; II) es autónoma, o sea, se adhiere al principio
de que sólo es posible deducir conclusiones probabilitarias de
premisas probabilitarias: dicho de otro modo, al principio de que el
cálculo de probabilidades es un método de transformar unas probabilidades
en otras, y III) es simétrica: esto es, se halla construida
de tal modo que siempre que exista una probabilidad p(a, b) —es decir,
una probabilidad de a supuesto fe— existe también una probabilidad
p(b, o), y ello incluso en el caso de que la probabilidad abso-
' En JBrtí. Journ. Phil, of Science 6, 1955, págs. 53 y 57 y sig., y fin la primera
Bota a pie de página del apéndice a mi trabajo «Philosophy of Science: A Personal
Beport», en Britih Philosophy in Mid-Century, ed. por C. A. Mace, 1956.
Debe advertirse que los sistemas que estudio aquí son «formales», «abstraetos»
o «autónomos» en el sentido explicado, pero que para llegar a una «formalización»
completa habríamos de encerrarlos dentro de cierto formalismo matemático (bastaría
el «álgebra elemental» de Tarski).
Puede preguntarse si podría existir un procedimiento de resolver la decidibilidad
de un sistema que consistiese, digamos, en el - álgebra elemental tarskiana y nuestro
sistema de fórmulas Al, B y C +. Hay que responder que no. Pues pueden añadirse
a nuestro sistema unas fórmulas que expresen cuántos elementos a, b, ..., existen
en S; tendremos así en aquél un teorema:
Existe un elemento a en S tal que p(a, a) ^^ p(a, a).
Al cual podemos añadir ahora la fórmula
(o) Para todo elemento a de S, p(a, a) ^s= p(a, a);
pero al hacer tal cosa puede demostrarse que en S hay exactamente dos elementos,
Y, sin embargo, los ejemplos mediante los que demostraremos más adelante la compatibilidad
de nuestros axiomas hacen ver que en S puede existir un número cualquiera
de elementos; por lo cual, no es posible deducir (o) ni ninguna otra fórmula parecida
que fije el número de elementos, del mismo modo que tampoco la negación de ninguna
fórmula de este tipo. Así pues, nuestro sistema es incompleto.
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