Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

Empleo heurístico de la definición clásica de probabilidad 301
Es decir, podemos modificar la definición clásica de suerte que
nos dé la sencilla regla siguiente:
Dadas las probabilidades de todos los casos posibles (y mutuamente
excluyentes), la probabilidad pedida es igual a la suma de las
probabilidades de todos los casos favorables (mutuamente excluyentes)
dividida por la de aquellas probabilidades.
Es evidente que podemos expresar también esta regla como sigue,
para casos mutuamente excluyentes o no :
La probabilidad pedida es siempre igual a la probabilidad de la
disyunción de todos los casos favorables (mutuamente excluyentes
o no), dividida por la probabilidad de la disyunción de todos los casos
posibles (mutuamente excluyentes o no).
6) Cabe emplear las reglas dadas para una deducción heurística
de la definición de probabilidad relativa y del teorema general de
multiplicación.
Pues, simbolicemos «par» por «a» y «distinto de seis» por «6»;
entonces, el problema que habíamos planteado de determinar la probabilidad
de que salga par si no tenemos en cuenta las tiradas en que
sale seis, es, sin duda, el mismo que el de determinar p{a,b) : es decir,
la probabilidad de a supuesto b, o sea, la probabilidad de encontrar
un a entre los b.
El cálculo puede llevarse a cabo del modo siguiente: En lugar
de escribir «p(2) + p(4)» podemos escribir, con mayor generalidad,
«p(ab)n: o sea, la probabilidad de que salga un número par distinto
de seis; y en vez de escribir «p(l) + p(2) + ... + p(5)»—o, lo que
es lo mismo, «1 —p(6)»— podemos poner «p(fc)»: esto es, la probabilidad
de que salga un número distinto de seis. No cabe duda de que
estos cálculos son enteramente generales; y suponiendo p{b) 7^ O, llegamos
a la fórmula
(1) p{a,b) = p{ab) I p{b)
o a esta otra (más general, ya que sigue teniendo sentido aunque sea
p{b) - 0),
(2) p{ab) = p{a, b) p{b)
Este es el teorema general de multiplicación para la probabilidad
absoluta de un producto ab.
Sustituyendo «6» por «be», obtenemos a partir de (2)^:
p{abc) — p{a, be) p{bc)
y, por tanto —al aplicar (2) a p{bc)—:
p{abc) = p{a, be) p{b, c) p{e)
Omito los paréntesis que deberían encuadrar «bes porque no me preocupa
nljnra un planteamiento formal, sino heurístico, y, además, porque trataremos extencnniente
el problema de la ley de asociación en los dos apéndices siguientes.
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