Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

274. La lógica de la investigación científica
acuerdo con una regla matemática, y con frecuencias cuyos límites son,
„F'(1) = aF'(O) = 1/2.
Empleando el procedimiento utilizado en la demostración de la
tercera forma de la fórmula binomial (apartado 60) o en la del teorema
de Bernoulli (apartado 61), puede ponerse de manifiesto (con
un grado cualquiera de aproximación) que para cualquier valor frecuencial
que podamos escoger existen sucesiones que son «absolutamente
libres», sin más condición que la de que exista, al menos, una
sucesión absolutamente libre (condición cuyo cumplimiento acabamos
de demostrar).
b) Puede emplearse ahora un método de construcción análogo
para hacer ver que existen sucesiones que tienen una frecuencia media
«absolutamente libre» (cf. el apartado 64), aun cuando no posean
límite frecuencial. Para ello basta modificar el proceso a) de tal modo
que, tras un número dado de aumentos de longitud, añadamos siempre
a la sucesión un «bloque» (o «iteración») finito —por ejemplo,
formado por unos— y cuya longitud sea tal que se llegue a cierta
frecuencia dada, p, distinta de 1/2. Una vez alcanzada la frecuencia
que acabamos de mencionar, la totalidad de la sucesión que se ha escrito
(cuya longitud será m,) se considera como sucesión inicial de
un período libre-mj—I (con equidistribución), etc.
c) Finalmente, es posible construir de un modo semejante un
modelo de sucesión que tenga más de una frecuencia media «absolutamente
libre» : según a), existen sucesiones que no tienen equidistribución
y son «absolutamente libres», de modo que lo único que tenemos
que hacer es combinar dos sucesiones de este tipo, (A) y (B)
(cuyas frecuencias sean p j q), como se indica a continuación. Escribimos
una sucesión inicial de (A); la buscamos en (B), y reordenamos
el período de (B) que la precede de tal modo que comience
con aquella sucesión. Empleamos ahora este período reordenado de
(B) como sucesión inicial: la buscamos en (A) y reordenamos ésta;
y así sucesivamente. Obtenemos de esta suerte una sucesión en la que
aparecen una y otra vez unos términos hasta llegar a los cuales la
sucesión es libre-fij para la frecuencia relativa p—de la sucesión (A)—,
pero en la que también aparecen una y otra vez unos términos hasta
llegar a los cuales dicha sucesión es libre-re^ para la frecuencia q—de
(B)—; como en este caso los números n^ crecen sin fin y sin límite,
hemos conseguido un método de construcción de una sucesión que tiene
dos «frecuencias medias» diferentes, ambas «absolutamente libres»
(pues hemos determinado (A) y (B) de modo que sus límites frecuenciales
sean distintos).
Niota. Está asegurada la aplicabilidad del teorema especial de
multiplicación al problema clásico de echar dos dados, X e Y, simultáneamente
(y a problemas relacionados con éste), si —por ejemplo—
hacemos la estimación hipotética de que la «sucesión combinada»
(como podemos llamarla) —esto es, la sucesión a que tiene las tiradas'
con X por términos impares y las con Y por términos pares— es
aleatoria.
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