Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

APÉNDICE
IV.
Un método para construir modelos
de sucesiones aleatorias
(Cf. los apartados 58, 64 y 66.)
Como en el apartado 55, suponemos que para todo número finito n
dado se puede construir un período generador, libre-n (de secuelas)
7 con equidistribución. En cada uno de estos períodos aparecerá al
menos una vez cada acervo-a; combinatoriamente posible (para
« < re + 1) de unos y de ceros *^.
a) Construimos un modelo de sucesión «absolutamente libre» (de
secuelas) del modo siguiente. Escribimos primero un período libre-re,
para un re arbitrariamente elegido, período que tendrá un número de
términos finito, digamos re^; luego otro período que sea por lo menos
libre-Wi—1, y cuya longitud será rij- En este último ha de aparecer al
menos una sucesión que sea idéntica al período dado inicialmente
(de longitud rej): pues bien, lo reordenamos de modo que empiece
precisamente con dicha sucesión (lo cual es siempre posible, según el
análisis llevado a cabo en el apartado 55), y al resultado le llamamos
segundo período. Escribimos ahora otro nuevo período que al menos
sea libre-rej—1, y buscamos en él la sucesión idéntica al segundo período
(una vez reordenado); lo reordenamos de suerte que el tercer
período comience por el segundo; etc. Obtenemos, de este modo, una
sucesión cuya longitud aumenta muy rápidamente, y cuyo período inicial
es el que habíamos escrito al empezar (que es la sucesión inicial
del segundo período, y así sucesivamente). Si se determina una su-
*' Existen varios métodos constructivos que cabe aplicar a la tarea de construir
un periodo generador de una sucesión libre-n con equidistribución. Damos un método
sencillo: haciendo a; = ra -j- 1 preparamos primero la tabla de los 2" accrvos-x posibles
de unos y ceros (ordenados con arreglo a una regla lexicográfica cualquiera, por
orden de magnitud, digamos); iniciamos ahora el período escribiendo el último de
estos acervos-n, que consta de x unos (y que tacharemos de la tabla); continuamos
luego de acuerdo con la regla siguiente: añádase un cero al segmento inicial siempre
que esté permitido, y si no es así, un uno (asiem-pre que esté permitidoí) significa aquí,
«si no ha aparecido ya el acervo-n final que formamos en el período inicial al hacer
esto, y si •—^por tanto— no está ya tachado de la tabla»); se sigue procediendo de
este modo hasta que queden tachados todos los acervos-re de la lista, y el resultado
es una sucesión de longitud 2'' +«— 1, que consta de, a) un periodo generador
—de longitud 2" = 2" + '— de una alternativa libre-n, y b) de los primeros n elementos
del período siguiente (que están añadidos al período acabado de mencionar).
Podemos decir que la sucesión construida de este modo es una sucesión libre-re «mínima»,
ya que cabe ver fácilmente que no puede existir un período generador (de
una sucesión periódica libre-n) cuya longitud sea menor que 2" + *.
El doctor L. R. B. Elton y yo hemos encontrado p,ruebas de la validez de la regla
de construcción dada, y pretendemos publicar conjuntamente un trabajo sobre esta
materia.
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