Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

APÉNDICE II.
Cálculo general de la frecuencia
en clases finitas
(Cf. los apartados 52 y 53) *\
Teorema general de multiplicación. Denotamos la clase finita de
referencia con «a», y las dos clases de propiedades con «/?» y «y». El
primer problema que se nos plantea es el de determinar la frecuencia
de los elementos que pertenecen tanto a ^ como a y.
La solución está dada por la fórmula
„F"(|3.y) = aF"(P).„.pF"(y)
o bien, puesto que /? y y pvieden conmutarse,
„F"(p.y) = „.,F"(P).„F"(y)
(I)
(!')
Se obtiene la demostración de modo inmediato a partir de la definición
dada en el apartado 52: sustituyendo en (1) de acuerdo con
dicha definición, obtenemos
N(a.p.y) N(a.p) N(a.p.y)
— — = (1,1)
N(a) N(a) N(a.p)
que manifiesta ser una identidad sin más que simplificar eliminando
«N (a . /?)». (Compárese con esta demostración, y, asimismo, con la
de (2s), Reichenbach, «Axiomatik del Wahrscheinlichkeitsrechnung»,
Mathematische Zeitschrift 34, pág. 593.)
Si asumimos que existe independencia (cf. el apartado 53), esto
es, que
„.pF"(y) = „F"(y)
(1')
llegamos, a partir de (1), al teorema especial de
multiplicación:
„F"(p.y) = „F"(P).„F"(y) (1.)
Valiéndose de la equivalencia de (1) y (1') puede demostrarse ahora
la simetría de la relación de independencia (cf. también la nota 4 del
apartado 53).
Los teoremas de adición se ocupan de los elementos que pertenecen
a yS o a y. Si denotamos con el símbolo «j8 + y» (en donde el sig-
•* He desarrollado posteriormente este apéndice en forma de un tratamiento axiomático
de la probabilidad: véanse lo» apéndice* •III • *V.
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