Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

La probabilidad 175
que sea «absolutamente libre»: decimos entonce» que a. es azarosa o
aleatoria, y que p es la probabilidad objetiva de los unos en o.
Será conveniente dividir esta definición en dos requisitos axiomáticos
**:
1) Requisito de aleatoriedad: para que una alternativa sea azarosa
debe existir, al menos, una frecuencia media «absolutamente libre»,
esto es, ha de existir su probabilidad objetiva p.
2) Requisito de unicidad: para una y la misma propiedad de
una sola alternativa azarosa tiene que existir una y sólo una probabilidad
p.
Tenemos asegurada la compatibilidad del nuevo sistema axiomático
por el ejemplo que hemos presentado ya. Es posible construir
sucesiones que, aun teniendo una y sólo una probabilidad, carecen de
frecuencia límite —cf. el apartado b) del apéndice IV—; lo cual hace
ver que las nuevas condiciones impuestas axiomáticamente son, en realidad,
más amplias— o sea, menos exigentes— que las antiguas. Este
hecho se hace aún más obvio si (ya que es posible tal cosa) enunciamos
nuestros antiguos axiomas de la forma siguiente:
1) Requisito de aleatoriedad: como se ha indicado.
2) Requisito de unicidad: como se ha indicado.
2') Axioma de convergencia: para una y la misma propiedad
de una sola alternativa azarjasa no existe ninguna otra frecuencia media
que su prohabilidad p.
A partir del sistema de rcíjuisitos que hemos propuesto podemos
deducir el teorema de Bernoulli, y con él todos los teoremas del cálculo
de probabilidades clásico ; lo cual resuelve nuestro problema, puesto
que ya es posible deducir la ley de los grandes ni'nneros dentro del
marco de la teoría frecuencial sin emplear el axioma de convergencia.
Además, no sólo permanecen inalteradas la fórmula (1) del apartado
61 y la formulación lingüística del teorema de Bernoulli '^, sino
que la interpretación que hemos dado de él queda, asimismo, sin variación
: en el caso de una sucesión azarosa sin límite frecuencial
continuará siendo verdad que casi todas las sucesiones suficientemente
largas ostentarán discrepancias de p muy peijueñas, si bien en ellas
(como también en las sucesiones azarosas con límite frecuencial) aparecerán
de cuando en cuando —como es natural— segmentos de una
longitud cualquiera que se comporten casi-divergentemente (esto es,
segmentos que discrepen de p en una cantidad cualquiera): pero se-
" Se puede combinar el mclodo indicado en la ñola *1 del apartado 57 y en
los apéndices IV y *VI con estos dos requisitos: mantendríamos entonces el (1) y sustituiríamos
el (2) por el siguiente,
(+ 2) Requisito de finitud: a partir de su comienzo, la sucesión ha de hacerse
libre-n lo antes posible, y para el n más elevado posible; dicho de otro modo, ha de
ser (aproximadamente) una sucesión aleatorizada mínima,
' Las fórmulas casi bernouUianas (cuyo símbolo es F') siguen siendo univocaa
para «uceaiones azaroaas (conforme a la nueva definición), aunque ahora «F'» simboliza
únicamente una frecuencia media.
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