Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

La prohabilidad 173
64. ELIMINACIÓN DEL AXIOMA DE CONVERGENCIA. SOLUCIÓN DEL «PRO-
BLEMA FUNDAMENTAL DE LA TEORÍA DEL AZAR»
Hasta ahora, los límites de las frecuencias no habían tenido en
nuestra reconstrucción de la teoría de la probabilidad otra función
([ue la de proporcionarnos un concepto inequívoco de frecuencia relativa
aplical)le a sucesiones infinitas, de suerte que apoyándonos en
él fuese posible definir el concepto de «libertad absoluta» (de secuelas):
pues es una frecuencia relativa lo que ha de ser insensible a la
selección que tiene en cuenta los predecesores.
Hemos restringido antes nuestro estudio a las alternativas con límites
frecuenciales, con lo cual introdujimos tácitamente un axioma
de convergencia. Ahora bien; para lilierarnos de este axioma voy a
eliminar tal restricción sin remplazaría por ninguna otra; esto quiere
decir que tendremos que construir un concepto frecuencial que pueda
asumir la función del límite de irecuencias —que hemos rechazado—
y que sea capaz de ser aplicaiíu a foíZa.s las sucesiones de referencia
infinitas *'.
Uu concepto frecuencial que cumple estas condiciones es el de
punto de acumulación de la sucesión de frecuencias relativas. (Se dice
que un valor a es un punto de acumulación de una sucesión, si a partir
de cierto elemenlo existen elementos que discrepen de a en una
cantidad menor que una dada, por pequeña que ésta sea.) Puede
verse que este concepto es aplicüjtle sin restricciones a todas las sucesiones
infinitas de referencia, teniendo en cuenta el hecho * de que
para toda alternativa inÜnita tiene que existir, al menos, un punto
de acumulación de la sucesión (ie ficcueiicias relativas correspondiente
a aquélla: como las frecuencias relativas no pueden ser nunca mayores
que 1 ni inferiores a ü, cualquier sucesión de ellas ha de estar
acotada por 1 y O ; y (se^ún un famoso teorema de Bolzano y Weierstrass)
por ser una sucesión infinita acotada, ha de tener, al menos,
un punto de acumulación ^.
Por razones de brevedad, llamaremos «una frecuencia media de a»
a todo punto de acumulación de la sucesión de frecuencias relativas
correspondiente a una alternativa a; y podemos ahora decir: si una
sucesión a tiene una y sólo una frecuencia media, ésta es, al mismo
tiempo, su límite frecuencial; y a la inversa: si no tiene límite frecuencial,
entonces tiene más de una ^ frecuencia media.
Veremos que la idea de frecuencia media es muy apropiada para
nuestros propósitos: exactamente lo mismo que habíamos estimado
*' Con objeto de no postular la convergencia, apelé en el párrafo siguiente a lo
que puede demostrarse: a saber, a la existencia de puntos de acumulación. Pero todo
esto resulta innecesario si adoptamos el método descrito en la nota *1 del apartado 57
y en el apéndice *VI.
' Hecho que, por extraño que parezca, no ha sido empleado hasta ahora en la
teoría de la probabilidad.
Puede hacerse ver fácilmente que si existe más de una frecueneia media en.una
iucesión de referencia, los valores de todas ellas forman un continuo.
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