Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

La probabilidad 171
a que las discrepancias, aunque pueden crecer sin límite, se anulan
mutuamente); estas sucesiones tienen el aspecto de divergentes en
segmentos arbitrariamente grandes, aun cuando las sucesiones correspondientes
de frecuencias convergen, en realidad. Así pues, la ley de
los grandes niimeros no es, en modo alguno, una consecuencia trivial
del axioma de convergencia, y éste es enteramente insuficiente para
deducir aquélla; y, por esta razón, no es posible prescindir de mi
axioma de aleatoriedad modificado o requisito de «libertad absoluta».
La reconstrucción que liemos realizado de la teoría sugiere, sin
embargo, la posibilidad de que la ley de los grandes números sea
independiente del axioma de convergencia. Pues hemos visto que el
teorema de Bernoulli se sigue inmediatamente de la fórmula binomial,
y además, hemos puesto de manifiesto que la primera fórmula
binomial puede deducirse para aucesiones finitas, y —por tanto— sin
necesidad de ningún teorema de convergencia : sólo se requería el supuesto
de qüc la sucesión de referencia, a, era, al menos, libre-re — 1
(supuesto del que se seguía la validez del teorema especial de multiplicación,
y, con ella, la validez de la primera fórmula binomial);
y todo lo que era menester para llevar a cabo el paso al límite —y
obtener el teorema de Bernoulli— era suponer que podíamos hacer n
tan grande como quisiéramos. Teniendo presente esto nos damos cuenta
de que el teorema de Bernoulli es, aproximadamente, válido incluso
para sucesiones finitas, con tal de que sean libres-íi para un n suficientemente
grande.
Parece, pues, que la deducción del teorema de Bernoulli no depende
de ningún axioma que postule la existencia de un límite de
la frecuencia, sino únicamente de la «libertad absoluta» o aleatoriedad.
El concepto de límite desempeña sólo un papel secundario : se
lo emplea para aplicar cierta concepción de la frecuencia relativa (que
originariamente está sólo definida para clases finitas, y sin la cual
no podría formularse el concepto de libertad-re) a las sucesiones que
pueden continuarse indefinidamente.
Aún más: no debería olvidarse que el mismo Bernoulli dedujo su
teorema dentro del marco de la teoría clásica, que no incluye ningún
axioma de convergencia; y, asimismo, que la definición de la probabilidad
como limite de frecuencias es solamente una interpretación
—y no la única posible— del formalismo clásico.
Trataré de justificar mi conjetura —la independencia del teorema
de Bernoulli con respecto al axioma de convergencia— deduciendo
este teorema sin suponer nada más qvie la libertad-re (que ha de
definirse de un modo apropiado) *^. Y me esforzaré por hacer ver
Sigo considerando perfectamente justificada mi antigua duda acerca de la
asunción de un axioma de convergencia, y la posibilidad de pasarse sin él: justificación
que se encuentra en las exposiciones del apéndice IV, nota *2, y del apéndice
*VI, en donde se hace ver que la aleatoriedad (si se la define por medio de
«sucesiones aleatorizadas mínimas») entraña la convergencia, de modo que ésta no neccaita
ler postulada separadamente. Además, mi referencia al formalismo clásico está
Justificada por la teoría do la probabilidad neoclásico (o do la teoría do la medida), que
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