Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

170 La lógica de la investigación científica
sólo pueden compararse con otras frecuencias relativas, y pueden discrepar
o no únicamente de ellas. Y es claro que sería inadmisible dar
a p, después de la deducción del teorema de Bernoulli, un sentido diferente
del que tenía antes de la misma ^.
Vemos, pues, que la teoría subjetiva es incapaz de interpretar la
fórmula de Bernoulli basándose en la ley estadística de los grandes
números. La deducción de las leyes estadísticas es sólo posible dentro
del marco de la teoría frecuencial: si partimos de una teoría estrictamente
subjetiva no llegaremos jamás a enunciados estadísticos —ni
siquiera si tratamos de salvar la separación por medio del teorema
de Bernoulli *^.
63. EL TEOREMA DE BERNOULLI Y EL PROBLEMA DE LA CONVERGENCIA
Desde un punto de vista epistemológico, la deducción que he esbozado
de la ley de los grandes números es insalisfactoria : pues el
papel desempeñado en nuestro análisis por el teorema de la convergencia
dista mucho de ser claro.
En efecto, he introducido tácitamente un axioma de este tipo al
confinar mi investigación a las sucesiones matemáticas con límites de
frecuencia (cf. el apartado 57). En consecuencia, podría uno sentirse
tentado a pensar que nuestro resultado --es decir, la deducción de
la ley de los grandes números— es trivial: pues podría considerarse
que el hecho de que las sucesiones «absolutamente libres» sean estadísticamente
estables está entrañado por su convergencia, que se ha
asumido axiomáticamente, si no implícitamente.
Pero esta opinión sería errónea, como Von Mises ha hecho ver
con toda claridad. Pues existen sucesiones ^ que satisfacen el axioma
de convergencia aunque el teorema de Bernoulli no es válido para
ellas, ya que —siendo la frecuencia cercana a 1— pueden aparecer
segmentos de una longitud cualquiera que discrepen de p en una
cantidad cualquiera (la existencia del límite p se debe, en estos casos,
^ Von Mises fue quien primero señaló esto —al tratar de una cuestión análoga—
en Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wakrheit (1928), pág. 85 (2." ed., 1936, pág. 136;
las palabras pertinentes faltan en la traducción inglesa) [vers, esp., págs. 181 y sig.
(T.JI. Puede hacerse notar, además, que las frecuencias relativas no pueden ser comparadas
con «grados de certidumbre de nuestro conocimiento», aunque no sea más que
porque la ordenación de tales grados es conveticional y no es necesario que se lleve
a cabo por coordinación de los mismos con fracciones comprendidas entre O y 1. Solamente
si se define la métrica de los grados subjetivos de certidumbre coordinándolos
con frecuencias relativas (pero sólo entonces), se podrá tolerar que la ley de los grandes
números se deduzca dentro del marco de la teoría subjetiva (cf. el apartado 63).
" Pero es posible emplear el teorema de Bernoulli como puente entre la interpretación
objetiva a base de «propensiones» y la estadística. Cf. los apartados *49
a *57 de mi Postscript.
^ Como ejemplo, Von Mises cita la sucesión de las cifras que ocupan el último
lugar en una tabla de raíces cuadradas con seis cifras. Cf., por ejemplo, Wahrscheinlichkeit,
Statistik un Wahrheit (1928), págs. 86 y sig. (2.* ed., 1936, pág. 137; ed. inglcsa,
pág. 165; [ed. cast., págs. 184 y sigs. fT.^]); y Wahrscheinlichkeitsrechnung
(1931), págs. 181 y sig.
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