Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

166 La lógica de la investigación científica
Hemos hecho patente también, de pasada, que las sucesiones a („)
de segmentos imbricados son insensibles a la selección normal 'ordinal
siempre que a sea «absolutamente libre».
Lo mismo ocurre con las sucesiones a„ de segmentos adyacentes,
pues toda selección ordinal normal de a„ puede considerarse como una
selección del mismo tipo de a(„) ; y, por tanto, será también aplicable
a la sucesión a misma, ya que ésta es idéntica a a(i) y a «j.
Hemos mostrado, pues, entre otras cosas, que de la «libertad absoluta»
—que quiere decir, insensibilidad a un tipo especial de selección
de vecindad— se sigue la insensibilidad a la selección ordinal normal.
Puede verse fácilmente que otra consecuencia ulterior es la insensibir
lidad a cualquier selección «pura» de vecindad (esto es, a una selección
que tenga en cuenta una caracterización constante de la vecindad,
o sea, una caracterización que no varíe con el número ordinal del
elemento). Y, por fin, se sigue que la «libertad absoluta» ha de entrañar
insensibilidad a todas *^ las combinaciones de estos dos tipos
de selección.
61. LA LET DE LOS GRANDES NIJMEROS (TEOREMA DE BERNOULLI)
El teorema de Bernoulli —o (primera^) «ley de los grandes números»—-
puede deducirse de la tercera fórmula binomial mediante
razonamientos puramente aritméticos, una vez hecha la asunción de
que podemos llevar n al límite: n—>• oo. Cabe afirmarla únicamente,
por tanto, de sucesiones a infinitas, ya que solamente en éstas pueden
aumentar indefinidamente de longitud los segmentos-re de las sucesiones
«n; mas sólo de, las sucesiones a que sean, además, «absolutamente
libres», puesto que nada más podemos llevar n al límite
(n —*•CO ) si asumimos la libertad-re para todo re.
El teorema de Bernoulli nos da la solución de un problema sumamente
afín al que (siguiendo a Von Mises) he denominado «problema
de Bernoulli»: concretamente, al del valor de a„F(m). Según
indiqué en el apartado 56, puede decirse que un segmento-n tiene la
propiedad «zre» cuando contiene precisamente m unos; y la frecuencia
relativa de los unos dentro de este segmento (finito) es, naturalmente,
m/n. Podemos establecer ahora la siguiente definición: un
segmento-w de a tiene la propiedad «Ap» si y sólo si la frecuencia
relativa de los unos discrepa del valor o;F(l) = p en una cantidad
menor que 8 —siendo 8 una cantidad tan pequeña como queramos
(pero distinta de cero)—: es decir, si discrepa de la probabilidad
de los unos en la sucesión a en una cantidad menor... Podemos tam-
*^ Según creo ahora, la palabra «todas» es errónea, y para ser un poco más
preciso seria menester remplazaría por «todas ... que pudieran utilizarse como sistemas
de jugar». Cf., más arriba, la nota *4 del apartado 58, y la nota 6 (que se
refiere a A. Wald) del apartado *54 de mi Postscript.
' Von Mises distingue el teorema de Bernoulli —o de Poisíon— de ¿u inverío,
que ¿1 llama «teorema de Bayesx o «la segunda le^ de los grandei niímerot)).
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