Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

156 La lógica de la investigación científica
de frecuencias relativas es convergente o no; y solamente origina dificultades
si se trata de sucesiones para las que no se da regla matemática
alguna, sino solamente empírica (por ejemplo, cuando se determina
la sucesión por las tiradas de una moneda): pues en estos
casos no está definido el concepto de límite (cf. el apartado 51).
Veamos un ejemplo de regla matemática para construir una sucesión
: «el n-ésimo elemento de la sucesión a será O si y sólo si n es
divisible por cuatro». Así queda definida la alternativa infinita
1 1 1 O 1 1 1 O ... (a)
cuyos límites de frecuencias relativas son aF'(l) ~ 3/4 ya F'(0) — 1/4.
Por razones de brevedad llamaré «sucesiones matemática:)» u las que,
como la anterior, se definen por medio de una regla matemática.
Por el contrario, tendríamos un ejemplo de una regla para construir
una sucesión empírica en la siguiente: «el n-ésimo elemento de
la sucesión a será O si y sólo si en la n-ésima tirada de la moneda sale
cruz». Pero no es necesario que las reglas empíricas definan siempre
sucesiones de carácter aleatorio ; por ejemplo, yo llamaría empírica
a la regla siguiente: «el n-ésinio elemento de la sucesión será 1 si
y sólo si en el n-ésimo segundo (a partir de un instante cero fijado)
el péndulo p se encuentra a la izquierda de su posición de reposo».
Este ejemplo hace ver que, en ocasiones, será posible remplazar
una regla empírica por una matemática: así, basándonos en ciertas
hipótesis y mediciones relativas a un péndulo determinado. Podemos
encontrar, de este modo, una sucesión matemática que se aproxime
a nuestra frecuencia empírica, y ello con un grado de precisión que
puede satisfacernos o no, según la finalidad que tengamos a la vista.
Mas para lo que estamos tratando ahora tiene un interés especial la
posibilidad (de la que es muestra nuestro ejemplo) de obtener una
sucesión matemática cuyas diversas frecuencias se aproximen a las
de cierta sucesión empírica.
Al dividir las sucesiones en matemáticas y empíricas establezco
una distinción que más podría llamarse «intensional» que «extensional».
Pues si se nos da una sucesión «extensionalmente», esto es, por
enumeración de sus elementos uno tras otro —con lo cual podremos
conocer sólo una parte de ella, un segmento finito, por largo que
sea— es imposible determinar, a partir de las propiedades de tal segmento,
si la sucesión de que forma parte es matemática o empírica:
únicamente podemos decidir si una sucesión es de uno u otro tipo
si se nos da una regla de construcción, es decir, una regla «intensional».
Puesto que queremos manejar las sucesiones infinitas valiéndonos
del concepto de límite (de las frecuencias relativas), hemos de restringir
nuestra investigación a sucesiones matemáticas, y precisamente
a aquéllas cuya sucesión correspondiente de frecuencias relativas sea
convergente; restricción que equivale a un axioma de convergencia.
(No nos ocuparemos de los problemas que suscita este axioma hasta
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