Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

154 La lógica de la investigación científica
mentó A:-ésimo de a, y sus segmentos contendrán los elementos de a numerados
de k a n -\- k — 1, de n -{- k a 2n -{-k — 1, de 2n -{- k a
in -{- k — 1, etc.
En lo sucesivo, denotaremos con «a(„)» la sucesiones de segmentos-re
imbricados, y con ««„» las sucesiones de segmentos-n, adyacentes.
Prestemos ahora algo más de atención a las sucesiones de segmentos
imbricados, a(n). Cada elemento de esta sucesión es un segmento-n
de a. Podemos considerar como propiedad primaria de un elemento
de ia(n), por ejemplo, el acervo-re ordenado de ceros y unos en que
consiste dicho elemento; o, más sencillamente, tomar como propiedad
primaria del mismo el número de sus unos (dejando de lado, pues, el
orden de los unos y los ceros) : es claro que si denotamos el número de
unos con m, tenemos m ^ n.
Ahora bien; a partir de toda sucesión a („) obtenemos otra alternativa
al seleccionar un m concreto (m^n) y adscribir la propiedad
«m» a todo elemento de la sucesión a(„) que tenga exactamente m
unos (y, por tanto, n — m ceros) y la propiedad m (no m) a todos los
demás elementos de «(«i; por tanto, todo elemento de «(„) ha de poseer
una de estas dos propiedades.
Imaginemos ahora de nuevo que se nos da una alternativa finita a
con las propiedades primarias «1» y «O», y supongamos que la frecuencia
de los unos, c(F"(l), es igual a p, y que la de los ceros, aF''(0),
es igual a q (no asumimos que ge trate de una equidistribución, en
la que sería p = q).
Partiendo de que la alternativa a sea al menos libre-n—1 (siendo n
un número natural arbitrario), podemos preguntar lo siguiente: ¿con
qué frecuencia aparece la propiedad m en la sucesión a(n)?; o, dicho
de otro modo, ¿cuál será el valor de a:i„)P"{m)?
Con los recursos de la aritmética elemental podemos resolver esta
cuestión ^, sin apoyarnos en otro supuesto que el de que « sea al menos
libre-n—1. Y la respuesta se halla contenida en la fórmula siguiente,
cuya demostración se encontrará en el apéndice III:
F" (m) = «C^p^g"-"- (1)
"(«)
El segundo miembro de la fórmula «binomial» (1) fue obtenido
—en un contexto diferente—• por Newton (y por ello se le llama,
a veces, fórmula de Newton); designaré aquélla como «primera forma
de la fórmula binomial» *^.
' Llamo «problema beruoulliano» (siguiendo a VoN MISES, Wahrscheinlichkeitsrechnung,
1931, pág. 128) al problema correspondiente para sucesiones infinitas de
segmentos adyacentes; y con referencia a las sucesiones infinitas de segmentos imbri
cados, le denomino «el problema casi bernouUiano» (cf. la nota 1 del apartado ÍO).
Por lo que el problema que aquí estudio sería el problema can bernouUiano para sucesiones
finitas.
" En el texto original empleaba el término «fórmula de Newton»; pero como
parece ser poco usado en inglés, me he decidido a traducirlo por «fórmula binomial»
[ambas expresiones son corrientes en castellano (T.)].
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