Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

146 La lógica de la investigación cientíjica
esta clase «, que se supone ser una clase no vacia, sirve algo así como
de marco de referencia, y la llamaremos una clase de referencia (finita);
en cuanto al número de elementos que pertenecen a ella —o
sea, a su número cardinal—, lo denotaremos por ((N(a)», que ha de
leerse «el número de a». Sea ahora /3 otra clase, finita o no: diremos
que fi es nuestra clase de propiedades, y puede ser, por ejemplo, la
clase de todas las tiradas que hacen aparecer un cinco —o, como también
diremos, que tienen la propiedad cinco.
La clase de los elementos que pertenecen tanto a a como a ¡3 (por
ejemplo, la clase de las tiradas hechas ayer con este dado concreto
que tenían la propiedad cinco) se llaipa la clase producto de a y ;8,
y se la denota por «a . j8», que ha de leerse «a y /?». Como a. . ¡3 ea
una subclase de a, tiene que contener como máximo un número finito
de elementos (y puede ser una clase vacía); ((N(a . y3)» denotará el
número de elementos de OÍ . ¡3.
Mientras que simbolizamos números (finitos) de elementos por N,
el símbolo correspondiente a frecuencias relativas será F"; por ejemplo,
escribiremos «aF"(^)» —que puede leerse «la frecuencia-a de yS»—•
en lugar de «la frecuencia relativa de la propiedad ¡3 dentro de la
clase finita de referencia a». Podemos definir ahora
N(a.(3)
cxF"(P) = (Definición 1)
N(a)
que en nuestro ejemplo querría decir: «la frecuencia relativa de los
cinco en las tiradas de ayer con este dado es, por definición, igual al
cociente que se obtiene dividiendo el número de cincos sacados ayer
con este dado por el número total de tiradas hechas ayer con este
dado» *^.
A partir de esta definición bastante trivial se pueden deducir muy
fácilmente los teoremas del cálculo de frecuencias en clases finitas
(en particular, el teorema general de multiplicación, el teorema de
adición y los teoremas de división, esto es, las reglas de Bayes; cf. el
apéndice II). Es característico de los teoremas de este cálculo de frecuencias
—y de los del cálculo de probabilidades en general—• que
nunca aparecen en ellos los números cardinales (números N), sino
únicamente frecuencias relativas (esto es, razones o números F); los
números N sólo aparecen en las demostraciones de unos pocos teoremas
fundamentales que se deducen directamente de la definición, pero
no en los teoremas mismos *^.
" Desde luego, la definición 1 se refiere a la clásica definición de probabilidad
como razón de los casos favorables a los igualmente posibles, pero debe distinguirse
claramente de ésta, ya que aquí no se asume que los elementos de a sean «igualmente
posibles».
Escogiendo un conjunto de fórmulas-F de las que puedan deducirse otras fórmuIas-F,
obtenemos un sistema axiomático formal para la probabilidad; compárense loa
apéndices II, *II, *iy y *V.
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