Popper Karl - La Logica de la Investigacion Cientifica

La probabilidad 145
de convergencia no menos que al de aleatoriedad. Pienso, por tanto,
que es preciso llevar a cabo dos tareas: el perfeccionamiento del
axioma de aleatoriedad (lo cual es principalmente un problema matemático)
y la eliminación total del axioma de convergencia, cuestión
por la que ha de preocuparse especialmente el epistemólogo ^ (cf. el
apartado 66).
A continuación me propongo ocuparme primero de la cuestión
matemática, y después, de la epistemológica.
La primera de estas tareas, es decir, la reconstrucción de la teoría
matemática^, tiene como principal meta la deducción del teorema
de Bernoulli —la primera «ley de los grandes números»— a partir
de un axioma de aleatoriedad modificado: a saber, modificado de
suerte que no se pida más de lo que es necesario para alcanzar dicha
meta. O, para ser más preciso, lo que pretendo es deducir la fórmula
binomial (a la que a veces se llama «la fórmula de Newton»)
en lo que yo llamo su «tercera forma»; a partir de ésta pueden oblencrse
del modo usual el teorema de Bernoulli y los demás teoremas
de límites de la teoría de la prohabilidad.
Mi plan consiste en preparar primero una teoría frecuencial para
clases finitas, y en desarrollar dentro de este marco la teoría cuanto
sea posible —esto es, hasta lograr la deducción de la («primera»)
fórmula binomial—. Esta teoría resulta ser una parte bastante elemental
de la teoría de clases, y la expondremos únicamente con objeto
de obtener una base para la discxisión del axioma de aleatoriedad.
Después continuaré con las sucesiones infinitas (es decir, con las
sucesiones de eventos que pueden continuarse indefinidamente) por
el conocido método de introducir un axioma de convergencia, ya que
necesitamos alguno de este tipo para la discusión del axioma de aleatoriedad.
Y después de deducir y examinar el teorema de Bernoulli,
me ocuparé de cómo podría eliminarse el axioma de convergencia
y de qué clase de sistema axiomático quedaría como resultado.
En el curso de las deducciones matemáticas emplearé tres símbolos
de frecuencia diferentes: F" simbolizará frecuencias relativas en
clases finitas; F' será símbolo del límite de las frecuencias relativas
de una sucesión de frecuencias infinita, y, finalmente, F habrá de
simbolizar la probabilidad objetiva —esto es, la frecuencia relativa
en una sucesión «irregular», «aleatoria» o «azarosa».
52. FRECUENCIA RELATIVA DENTRO DE UNA CLASE FINITA
Consideremos ahora una clase a de un número finito de acontecimientos,
por ejemplo, la clase de las tiradas con este dado concreto;
" ScHucK, en NatuTwissenschaften 19, 1931, expresa esta preocupación. *Sigo
creyendo que ambas tareas tienen importancia; aunque casi logré realizar en o', libro
lo que me había propuesto, sólo las he llevado a cabo de un modo satisfactori'> en el
nuevo apéndice *VI.
I'ublicnré por separado t>na exposición detallada de la construcción matemáti-
*(!f. ni nuevo apéndice *\\.
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