n - DSpace en ESPOL

MOISES VILLENA MUÑOZ
Cap 3 La Integral Definida
Reemplazando en
F
n
[ F(
x ) − F(
]
tenemos: F(
b)
− F(
a)
=
( b)
− F(
a)
=
i x i −1)
∑= i 1
∑= i 1
n
f (
) ∆
xi x i
Tomando límite queda:
lím
n→∞
[ F(
b)
− F(
a)
]
F(
b)
− F(
a)
= lím
= lím
∑
n→∞
i=
1
∑
n→∞
i=
1
n
n
f ( x ) ∆x
i
f ( x ) ∆x
i
i
=
b
∫
a
i
f ( x)
dx
a, b
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f en [ ].
∫
Por tanto F ( b)
− F(
a)
= f ( x)
dx
b
a
L.Q.Q.D.
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva
SOLUCIÓN:
2
y = x en [ 1 ,3]
3
El área bajo la curva estará dada por
A =
∫ x
2
dx , aplicando el teorema fundamental del calculo
3
3
3 3
2
⎛ ⎞ ⎛ 3 1 ⎞
⎜
x
A = x dx = ⎟ ⎜
⎟
+ C =
=
3
+ C − − C
∫ 3 3
⎝ ⎠ ⎝
⎠
1
3
1
1
27
3
−
1
3
=
26
3
Hemos dado solución a una gran problemática.
Observe que ( x)
dx = 0
∫ a a
b
f y
∫
f x)
dx = −∫
f ( x)
dx
a
a
( ¿Porqué?
b
50