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MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Si f es acotada en [ b] a, y si f es continua a excepción de un número finito de puntos, entonces f es integrable [ b] En particular si f es continua en todo [ b] integrable en [ a, b] a, . a, entonces es Ejemplo Hallar el área bajo la curva SOLUCIÓN: 2 f ( x) = x en [ 1 ,3] Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene: n A = lím ∑ f ( xi) ∆xi = lím [ f ( x1) ∆x1 + f ( x2) ∆x2 + f ( x3) ∆x3 + K + f ( xn) ∆xn] n→∞ n→∞ i= 1 PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos x 1 = x1 , x 2 = x2 , x 3 = x3 , …, x i = xi Representando la región, tenemos: 2 y = x x0 x1 x2 {{ ∆x ∆x { ∆x x n Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos b − a 3 −1 2 ∆ x = = = n n n y 46
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Entonces: A = lím n→∞ x 0 = a = 1 x1 = x0 + ∆x = 1+ x 2 n ⎛ 2 ⎞ 4 = x1 + ∆x = x0 + 2∆x = 1+ 2⎜ ⎟ = 1 , ⎝ n ⎠ n 2 + ⎛ 2 ⎞ x3 = x2 + ∆x = x0 + 3∆x = 1+ 3⎜ ⎟ = 1+ ⎝ n ⎠ M ⎛ 2 ⎞ x i = x0 + i∆x = 1+ i∆x = 1+ i⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ [ f ( x ) ∆x + f ( x ) ∆x + f ( x ) ∆x + L f ( x ) ∆x] = lím f ( xi ) ∆x n→∞ i= 1 n ⎛ 2 ⎞ = lím ⎜1 + i ⎟ n→∞∑⎝ n ⎠ = lím n→∞ = lím n→∞ = lím n→∞ = lím n→∞ = lím n→∞ = lím n→∞ i= 1 2 n 2 ⎡ ⎢ n ⎢ ⎣ i= 1 i= 1 ⎛ 4 ⎜1+ i + i ⎝ n 4 1+ n 2 ⎡ 4 n( n + 1) 4 n( n + 1)(2n + 1) ⎤ ⎢n + + n 2 2 6 ⎥ ⎣ n n ⎦ 2 ⎡ 2( n + 1)(2n + 1) ⎤ ⎢n + 2( n + 1) + n 3 ⎥ ⎣ n ⎦ 2 ⎡ 2 4n + 6n + 2⎤ ⎢3n + 2 + ⎥ n ⎢⎣ 3n ⎥⎦ 2 ⎡ 4n 2 ⎤ ⎢3n + 2 + + 2 + n 3 3 ⎥ ⎣ n ⎦ ⎡ 8 8 4 = lím ⎢6 + + + n→∞⎣ n 3 3n 26 A = 3 1 n ∑ n ∑ n ∑ 2 2 2 n i= 1 2 2 n ∑ ⎤ ⎥ ⎦ n 4 2 ⎞ ⎟ ⎠ 4 i + 2 n 3 n ∑ i= 1 i 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ n 6 n SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS. Escogemos x 1 = x0 , x 2 = x1 , x 3 = x2 , …, x i = x i− 1 Representando la región, tenemos: 47
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