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MOISES VILLENA MUÑOZ
Cap 3 La Integral Definida
Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que f ( −t)
= f ( t)
y además si
invertimos los límites de integración, tenemos:
0
− f ( −t)
dt =
∫
la última integral si t = x queda f ( −t)
[ − dt] = f ( x)
dx
∫ ∫
a
0
a
a
a
0
a
a
a
∫
0 0
0
Finalmente f ( x)
dx = f ( x)
dx + f ( x)
dx = 2
∫ ∫ ∫
−a
a
∫
0
f ( t)
dt
f ( x)
dx L.Q.Q.D.
Ejemplo
Calcular
5
∫− 5
SOLUCIÓN:
5
x
dx
2
x + 4
Obtengamos primero f ( − x)
para
5
x
f ( x)
= .
x
2
+ 4
( −x)
x
f ( −x)
= = −
2
2
( −x)
+ 4 x + 4
Observe f ( − x)
= − f ( x)
, por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría,
rápidamente concluimos que:
5
∫− 5
5
x
dx = 0
2
x + 4
5
5
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
Si f es periódica con período T , entonces:
b+
T
∫ ( x)
dx = ∫
a+
T
f f ( x)
dx
b
a
DEMOSTRACIÓN
En la integral
b+
T
∫
a+
T
f ( x)
dx , haciendo cambio de variable t = x − T .
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