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MOISES VILLENA MUÑOZ
Cap 3 La Integral Definida
Tomando el cambio de variable t = x entonces tenemos dx = 2 xdt
, y para los límites de
⎪⎧
x =
integración ⎨
⎪⎩ x =
π 2
∫
π 3
= 2 1
2
π
4
2
π
9
cost
2
x
⇒ t =
⇒ t =
3
2
π
2
π
3
() − 2 = 2 − 3
por tanto la integral en términos de t sería:
π 2
∫
π 2
π π
xdt = 2 costdt
= 2sen t = 2sen − 2sen
π 3
π 3
2
3
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la
propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de
las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
1. Si f es una función PAR entonces:
a
f ( x)
dx = 2
∫
−a
a
0∫
f ( x)
dx
2. Si f es una función IMPAR entonces:
a
∫− a
f ( x)
dx = 0
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma
análoga y se recomienda al lector que la realice.
DEMOSTRACIÓN
Aplicando la propiedad de aditividad f ( x)
dx = f ( x)
dx +
∫ ∫
a
−a
0
−a
a
∫
0
f ( x)
dx
Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:
Si tomamos el cambio de variable t = −x
entonces dt = −dx
y para los límites de integración
⎧x = 0 ⇒ t = 0
⎨
. Sustituyendo resulta
⎩x
= −a
⇒ t = a
0
∫
a
f ( −t)
0
[ − dt] = −∫
a
f ( −t)
dt
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