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MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida Ejemplo 1 5 Calcular f ( x) dx donde ∫ 1 f ⎧2x −1 ; x ≥ 3 x) = ⎨ ⎩x − 3x + 1; x < 3 ( 2 SOLUCIÓN: Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir: Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos: 5 ∫ 1 3 f ( x) dx = ∫ ∫ 1 ⎡⎛ = ⎢⎜9 − ⎣⎝ 38 = 3 2 ( x − 3x + 1) dx + ( 2x −1) ⎛ 3 2 3 ⎞ ⎜ x x = ⎟ − + x 3 2 ⎝ ⎠ 27 2 3 1 5 3 ⎛ ⎜ 2x + ⎝ 2 ⎞ ⎛ 1 + 3⎟ − ⎜ − ⎠ ⎝ 3 3 2 2 dx ⎞ − x⎟ ⎠ ⎞⎤ + 1⎟⎥ + ⎠⎦ 5 3 [( 25 − 5) − ( 9 − 3) ] Ejemplo 2 4 Calcular ∫ −2 x −1 − 2 dx SOLUCIÓN: Para obtener las reglas de correspondencia que definen a y = x −1 − 2 f , obtenemos la gráfica de Entonces: 52
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida 4 ∫ −2 x −1 − 2 dx = −1 ∫ 1 ∫ ( − x − 1) dx + ( x + 1) dx + ( − x + 3) dx + ( x − 3) −2 −1 1 3 −1 1 3 4 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ x 3 ⎟ ⎜ x = − − x + + x + − + x + − 3x⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ −2 ⎝ ⎠ −1 ⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠ 3 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡⎛ 9 ⎞ ⎛ = ⎢⎜− + 1⎟ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎝ = 5 3 ∫ 4 ∫ ( − 2 + 2) + ⎜ + 1⎟ − ⎜ − 1⎟ + ⎜− + 9⎟ − ⎜− + 3⎟ + ( 8 − 12) dx 1 2 ⎞⎤ ⎥ ⎠⎦ ⎡ ⎢ ⎣ ⎛ 9 ⎞⎤ − ⎜ − 9⎟⎥ ⎝ 2 ⎠⎦ 3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN Si f y g son integrables en [ b] x ∈[ a, b ∀ ]; entonces: ∫ f ( x) dx ≤ ∫ g( x) dx b a a, y si ( x) g( x) b a f ≤ , 3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO Si f es integrable en [ a, b] y si m ≤ f ( x) ≤ M , ∀ x ∈[ a, b] ; entonces: ( − a) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M ( b − a) m b b a 3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN Supóngase que g tiene una derivada continua en [ a,b] y sea f continua en el rango de g . Entonces: x= b ∫ x= a Ejemplo cos Calcular ∫ SOLUCIÓN: t = g ( b) ∫ t = g ( a) donde f ( g( x)) g´( x) dx = f ( t) dt t = g(x) 2 π 4 2 π 9 x dx x 53
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