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MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
3<br />
3.1 DEFINICIÓN<br />
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD<br />
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO<br />
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA<br />
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD<br />
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD<br />
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN<br />
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO<br />
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN<br />
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA<br />
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD<br />
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA<br />
INTEGRAL<br />
Objetivo:<br />
Se pret<strong>en</strong>de que el estudiante calcule integrales<br />
definidas aplicando teoremas y propiedades<br />
43
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
3.1 DEFINICIÓN<br />
Ya se ha m<strong>en</strong>cionado que un problema a resolver es la determinación<br />
del área bajo una curva y = f (x)<br />
.<br />
El cálculo integral proporciona las herrami<strong>en</strong>tas para dar solución a<br />
esta problemática.<br />
Dividi<strong>en</strong>do la región <strong>en</strong> " n " rectángulos. Observe la figura:<br />
Las bases de los rectángulos son de dim<strong>en</strong>sión no necesariam<strong>en</strong>te<br />
igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor<br />
que se obti<strong>en</strong>e <strong>en</strong> la función f con el punto (observe la figura) que se ha<br />
d<strong>en</strong>otado como x . El área del primer rectángulo sería A1 = f ( x1)<br />
∆x1<br />
, el<br />
área del segundo rectángulo sería A2 = f ( x 2 ) ∆x2<br />
; y así , el área del<br />
n-ésimo rectángulo sería An<br />
= f ( x n ) ∆xn<br />
.<br />
x<br />
n<br />
44
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Observe que si tomamos x 1 = x1<br />
, x 2 = x2<br />
, x 3 = x3<br />
, …, x i = xi<br />
, se<br />
ti<strong>en</strong><strong>en</strong> rectángulos circunscritos; <strong>en</strong> cambio si se toma x 1 = x0<br />
, x 2 = x1<br />
,<br />
x 3 = x2<br />
, …, i = x i− 1<br />
x se t<strong>en</strong>drían rectángulos inscritos.<br />
La suma de las áreas de los<br />
f<br />
n rectángulos sería:<br />
( x1<br />
) ∆x<br />
f ( x ) x f ( x ) x f ( x n )<br />
1<br />
+ 2 ∆<br />
2<br />
+ 3 ∆<br />
3<br />
+ K + ∆xn<br />
Que de manera abreviada t<strong>en</strong>emos:<br />
n<br />
∑= i 1<br />
f<br />
( )<br />
xi ∆x<br />
Bi<strong>en</strong>, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería<br />
considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de<br />
rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región<br />
estaría dada por:<br />
i<br />
A<br />
⎡<br />
lím<br />
n→∞⎢<br />
⎣<br />
n<br />
=<br />
∑= i 1<br />
f<br />
⎤<br />
( x i ) ∆x<br />
⎥ ⎦<br />
i<br />
De aquí surge la definición de Integral Definida.<br />
Sea f una función que está definida <strong>en</strong> el intervalo [ a,b].<br />
⎡<br />
⎢⎣<br />
n<br />
Al ( )<br />
⎤<br />
∑ f x i ∆xi<br />
⎥ ⎦<br />
lím se le d<strong>en</strong>omina la integral definida (o<br />
n→∞<br />
i=<br />
1<br />
integral de Riemann) de f de "<br />
sigui<strong>en</strong>te manera: f ( x)<br />
dx .<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
a<br />
" a "b" y se d<strong>en</strong>ota de la<br />
Además, si existe este límite decimos que f es integrable<br />
<strong>en</strong> [ a,b].<br />
Ahora, con el sigui<strong>en</strong>te teorema dejamos s<strong>en</strong>tado el hecho de cuando<br />
una función es integrable.<br />
45
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD<br />
Si f es acotada <strong>en</strong> [ b]<br />
a, y si f es continua a excepción de<br />
un número finito de puntos, <strong>en</strong>tonces f es integrable [ b]<br />
En particular si f es continua <strong>en</strong> todo [ b]<br />
integrable <strong>en</strong> [ a, b]<br />
a, .<br />
a, <strong>en</strong>tonces es<br />
Ejemplo<br />
Hallar el área bajo la curva<br />
SOLUCIÓN:<br />
2<br />
f ( x)<br />
= x <strong>en</strong> [ 1 ,3]<br />
Aplicando la definición (Suma de Riemann) se ti<strong>en</strong>e:<br />
n<br />
A = lím ∑ f ( xi)<br />
∆xi<br />
= lím [ f ( x1)<br />
∆x1<br />
+ f ( x2)<br />
∆x2<br />
+ f ( x3)<br />
∆x3<br />
+ K + f ( xn)<br />
∆xn]<br />
n→∞<br />
n→∞<br />
i=<br />
1<br />
PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.<br />
Escogemos x 1 = x1<br />
, x 2 = x2<br />
, x 3 = x3<br />
, …, x i = xi<br />
Repres<strong>en</strong>tando la región, t<strong>en</strong>emos:<br />
2<br />
y = x<br />
x0<br />
x1<br />
x2<br />
{{<br />
∆x ∆x<br />
{<br />
∆x<br />
x<br />
n<br />
Ahora bi<strong>en</strong>, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dim<strong>en</strong>sión, t<strong>en</strong>dríamos<br />
b − a 3 −1<br />
2<br />
∆ x = = =<br />
n n n<br />
y<br />
46
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Entonces:<br />
A = lím<br />
n→∞<br />
x 0 = a = 1<br />
x1 = x0<br />
+ ∆x<br />
= 1+<br />
x<br />
2<br />
n<br />
⎛ 2 ⎞ 4<br />
= x1<br />
+ ∆x<br />
= x0<br />
+ 2∆x<br />
= 1+<br />
2⎜<br />
⎟ = 1 ,<br />
⎝ n ⎠ n<br />
2 +<br />
⎛ 2 ⎞<br />
x3 = x2<br />
+ ∆x<br />
= x0<br />
+ 3∆x<br />
= 1+<br />
3⎜<br />
⎟ = 1+<br />
⎝ n ⎠<br />
M<br />
⎛ 2 ⎞<br />
x i = x0<br />
+ i∆x<br />
= 1+<br />
i∆x<br />
= 1+<br />
i⎜<br />
⎟<br />
⎝ n ⎠<br />
[ f ( x ) ∆x<br />
+ f ( x ) ∆x<br />
+ f ( x ) ∆x<br />
+ L f ( x ) ∆x]<br />
= lím f ( xi<br />
) ∆x<br />
n→∞<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
⎛ 2 ⎞<br />
= lím ⎜1<br />
+ i ⎟<br />
n→∞∑⎝<br />
n ⎠<br />
= lím<br />
n→∞<br />
= lím<br />
n→∞<br />
= lím<br />
n→∞<br />
= lím<br />
n→∞<br />
= lím<br />
n→∞<br />
= lím<br />
n→∞<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
n<br />
2<br />
⎡<br />
⎢<br />
n ⎢<br />
⎣<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
⎛ 4<br />
⎜1+<br />
i + i<br />
⎝ n<br />
4<br />
1+<br />
n<br />
2 ⎡ 4 n(<br />
n + 1) 4 n(<br />
n + 1)(2n<br />
+ 1) ⎤<br />
⎢n<br />
+ +<br />
n 2<br />
2<br />
6<br />
⎥<br />
⎣ n n<br />
⎦<br />
2 ⎡ 2( n + 1)(2n<br />
+ 1) ⎤<br />
⎢n<br />
+ 2( n + 1) +<br />
n<br />
3<br />
⎥<br />
⎣<br />
n ⎦<br />
2 ⎡<br />
2<br />
4n<br />
+ 6n<br />
+ 2⎤<br />
⎢3n<br />
+ 2 +<br />
⎥<br />
n ⎢⎣<br />
3n<br />
⎥⎦<br />
2 ⎡ 4n<br />
2 ⎤<br />
⎢3n<br />
+ 2 + + 2 +<br />
n 3 3<br />
⎥<br />
⎣<br />
n ⎦<br />
⎡ 8 8 4<br />
= lím ⎢6<br />
+ + +<br />
n→∞⎣<br />
n 3 3n<br />
26<br />
A =<br />
3<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
n<br />
∑<br />
n<br />
∑<br />
2<br />
2<br />
2<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n<br />
∑<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
n<br />
4<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
4<br />
i +<br />
2<br />
n<br />
3<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
n<br />
6<br />
n<br />
SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.<br />
Escogemos x 1 = x0<br />
, x 2 = x1<br />
, x 3 = x2<br />
, …, x i = x i− 1<br />
Repres<strong>en</strong>tando la región, t<strong>en</strong>emos:<br />
47
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
2<br />
y = x<br />
x0<br />
x1<br />
x2<br />
{{<br />
∆x ∆x<br />
x n−1<br />
{<br />
∆x<br />
x<br />
n<br />
Ahora, igual que el método anterior:<br />
2<br />
⎛ 2 ⎞<br />
∆ x = y x i = 1 + i⎜<br />
⎟<br />
n<br />
⎝ n ⎠<br />
Entonces:<br />
A = lím f x0<br />
∆x<br />
+ f x1<br />
∆x<br />
+ f x2<br />
∆x<br />
+ L f<br />
n→∞<br />
n−1<br />
[ ( ) ( ) ( ) ( x ) ∆x]<br />
∑<br />
= lím f ( xi<br />
) ∆x<br />
n→∞<br />
i=<br />
0<br />
n−1<br />
2<br />
⎛ 2 ⎞ 2<br />
= lím ⎜1<br />
+ i ⎟<br />
n→∞∑⎝<br />
n ⎠ n<br />
i=<br />
0<br />
n−1<br />
2 ⎛ 4 2 4 ⎞<br />
= lím ⎜1+<br />
i + i ⎟<br />
n→∞<br />
n∑<br />
2<br />
⎝ n n ⎠<br />
i=<br />
0<br />
∑<br />
∑<br />
⎡ n−1<br />
n<br />
2 4 4<br />
= lím ⎢ 1+<br />
i +<br />
n→∞<br />
n ⎢ n<br />
2<br />
n<br />
⎢⎣<br />
i=<br />
0 i=<br />
1<br />
2 ⎡ 2<br />
4n<br />
− 6n<br />
+ 2 ⎤<br />
= lím ⎢3n<br />
− 3 +<br />
⎥<br />
n→∞<br />
n ⎢⎣<br />
3n<br />
⎥⎦<br />
2 ⎡ 4n<br />
2 ⎤<br />
= lím ⎢3n<br />
− 3 + − 2 +<br />
3 3<br />
⎥<br />
n→∞<br />
n ⎣<br />
n ⎦<br />
⎡ 10 8 4 ⎤<br />
= lím ⎢6<br />
− + +<br />
3 2 ⎥<br />
n→∞⎣<br />
n 3n<br />
⎦<br />
26<br />
A =<br />
3<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
⎤<br />
2<br />
i ⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
n−1<br />
( n −1 )(<br />
n)<br />
4 ( n −1 )(<br />
n)<br />
[ 2( n −1)<br />
1]<br />
2 ⎡ 4<br />
+<br />
= lím ⎢( n −1)<br />
+<br />
+<br />
n→∞<br />
n<br />
2 2<br />
⎣ n<br />
n 6<br />
2 ⎡<br />
2( n −1)(2n<br />
−1)<br />
⎤<br />
= lím ⎢n<br />
−1+<br />
2( n −1)<br />
+<br />
3<br />
⎥<br />
n→∞<br />
n ⎣<br />
n ⎦<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
48
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Note que el asunto no es tan s<strong>en</strong>cillo. Se podría volver aún más<br />
<strong>en</strong>gorroso si la función f tuviese regla de correspond<strong>en</strong>cia compleja.<br />
El teorema sigui<strong>en</strong>te nos permitirá evaluar integrales definidas de<br />
una manera muy rápida y s<strong>en</strong>cilla, liberándonos de la ideas de calcular<br />
integrales definidas empleando su definición.<br />
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO<br />
Sea f continua <strong>en</strong> [ b]<br />
antiderivada de f <strong>en</strong> [ b]<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
a, y sea F cualquier<br />
a, <strong>en</strong>tonces:<br />
f ( x)<br />
dx = F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
Demostración:<br />
En la expresión F( b)<br />
− F(<br />
a)<br />
, haci<strong>en</strong>do b = xn<br />
y a = x0<br />
t<strong>en</strong>emos:<br />
F b)<br />
− F(<br />
a)<br />
= F(<br />
xn ) − F(<br />
x )<br />
( 0<br />
Restando y sumando términos, resulta:<br />
F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
= F(<br />
x ) − F(<br />
x )<br />
=<br />
=<br />
[ F(<br />
x ) − F(<br />
x )] + [ F(<br />
x ) − F(<br />
x )] + F(<br />
x ) − − F(<br />
x ) + [<br />
n<br />
n<br />
∑= i 1<br />
n<br />
n−1<br />
[ F(<br />
x ) − F(<br />
x )]<br />
i<br />
0<br />
i−1<br />
n−1<br />
n−2<br />
n−2<br />
K F(<br />
x ) − F(<br />
x )]<br />
1<br />
1<br />
0<br />
Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a<br />
F <strong>en</strong> el intervalo [ x , ]<br />
i−<br />
1 x i<br />
Como F es continua y difer<strong>en</strong>ciable <strong>en</strong> [ x i− 1,<br />
x i ] <strong>en</strong>tonces ∃ xi<br />
tal que F ´( xi<br />
) =<br />
Como F ´( xi<br />
) = f ( xi<br />
) y xi<br />
− xi<br />
−1 = ∆xi<br />
<strong>en</strong>tonces:<br />
F(<br />
xi<br />
) − F<br />
f ( xi<br />
) =<br />
∆x<br />
Despejando resulta: F xi<br />
) − F( xi− ) = f ( xi<br />
) ∆xi<br />
( 1 .<br />
i<br />
( x )<br />
i−1<br />
F(<br />
x ) − F<br />
i<br />
x − x<br />
i<br />
( x )<br />
i−1<br />
i−1<br />
49
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Reemplazando <strong>en</strong><br />
F<br />
n<br />
[ F(<br />
x ) − F(<br />
]<br />
t<strong>en</strong>emos: F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
=<br />
( b)<br />
− F(<br />
a)<br />
=<br />
i x i −1)<br />
∑= i 1<br />
∑= i 1<br />
n<br />
f (<br />
) ∆<br />
xi x i<br />
Tomando límite queda:<br />
lím<br />
n→∞<br />
[ F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
]<br />
F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
= lím<br />
= lím<br />
∑<br />
n→∞<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
n→∞<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
n<br />
f ( x ) ∆x<br />
i<br />
f ( x ) ∆x<br />
i<br />
i<br />
=<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
i<br />
f ( x)<br />
dx<br />
a, b<br />
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de f <strong>en</strong> [ ].<br />
∫<br />
Por tanto F ( b)<br />
− F(<br />
a)<br />
= f ( x)<br />
dx<br />
b<br />
a<br />
L.Q.Q.D.<br />
Ejemplo<br />
Hallar el área bajo la curva<br />
SOLUCIÓN:<br />
2<br />
y = x <strong>en</strong> [ 1 ,3]<br />
3<br />
El área bajo la curva estará dada por<br />
A =<br />
∫ x<br />
2<br />
dx , aplicando el teorema fundam<strong>en</strong>tal del calculo<br />
3<br />
3<br />
3 3<br />
2<br />
⎛ ⎞ ⎛ 3 1 ⎞<br />
⎜<br />
x<br />
A = x dx = ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
+ C =<br />
=<br />
3<br />
+ C − − C<br />
∫ 3 3<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
27<br />
3<br />
−<br />
1<br />
3<br />
=<br />
26<br />
3<br />
Hemos dado solución a una gran problemática.<br />
Observe que ( x)<br />
dx = 0<br />
∫ a a<br />
b<br />
f y<br />
∫<br />
f x)<br />
dx = −∫<br />
f ( x)<br />
dx<br />
a<br />
a<br />
( ¿Porqué?<br />
b<br />
50
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA<br />
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD<br />
Suponga que f y g son integrables <strong>en</strong> el intervalo<br />
a, ] y sea k ∈ R , <strong>en</strong>tonces:<br />
[ b<br />
b<br />
1. ∫ [ x)<br />
± g(<br />
x)<br />
] dx = ∫[ f ( x)<br />
] dx ± ∫[<br />
a<br />
b<br />
b<br />
f ( g(<br />
x)<br />
] dx<br />
2. ∫ ( x)<br />
dx = k∫<br />
a<br />
kf f ( x)<br />
dx<br />
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD<br />
b<br />
a<br />
Si f es integrable <strong>en</strong> un intervalo que conti<strong>en</strong>e a los<br />
puntos a, b y c (no importar su ord<strong>en</strong>), <strong>en</strong>tonces:<br />
b<br />
c<br />
( x)<br />
dx = f ( x)<br />
dx +<br />
∫ ∫ ∫<br />
a<br />
a<br />
a<br />
f f ( x)<br />
dx<br />
b<br />
c<br />
b<br />
a<br />
Demostración:<br />
Por el teorema fundam<strong>en</strong>tal del cálculo:<br />
c<br />
b<br />
( x)<br />
dx + f ( x)<br />
dx = F(<br />
c)<br />
− F(<br />
a)<br />
+ F(<br />
b)<br />
− F(<br />
c)<br />
= F(<br />
b)<br />
− F(<br />
a)<br />
=<br />
∫ ∫<br />
∫<br />
a<br />
f f ( x)<br />
dx<br />
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?<br />
c<br />
3<br />
5<br />
2<br />
2<br />
x dx = x dx +<br />
∫ ∫ ∫<br />
1<br />
1<br />
3<br />
5<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
b<br />
a<br />
51
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Ejemplo 1<br />
5<br />
Calcular f ( x)<br />
dx donde<br />
∫<br />
1<br />
f<br />
⎧2x<br />
−1<br />
; x ≥ 3<br />
x)<br />
= ⎨<br />
⎩x<br />
− 3x<br />
+ 1; x < 3<br />
(<br />
2<br />
SOLUCIÓN:<br />
Como f ti<strong>en</strong>e dos reglas de correspond<strong>en</strong>cia, es decir:<br />
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, t<strong>en</strong>emos:<br />
5<br />
∫<br />
1<br />
3<br />
f ( x)<br />
dx =<br />
∫ ∫<br />
1<br />
⎡⎛<br />
= ⎢⎜9<br />
−<br />
⎣⎝<br />
38<br />
=<br />
3<br />
2<br />
( x − 3x<br />
+ 1) dx + ( 2x<br />
−1)<br />
⎛<br />
3 2<br />
3 ⎞<br />
⎜<br />
x x<br />
=<br />
⎟<br />
− + x<br />
3 2<br />
⎝<br />
⎠<br />
27<br />
2<br />
3<br />
1<br />
5<br />
3<br />
⎛<br />
⎜<br />
2x<br />
+<br />
⎝ 2<br />
⎞ ⎛ 1<br />
+ 3⎟ − ⎜ −<br />
⎠ ⎝ 3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
⎞<br />
− x⎟<br />
⎠<br />
⎞⎤<br />
+ 1⎟⎥<br />
+<br />
⎠⎦<br />
5<br />
3<br />
[( 25 − 5) − ( 9 − 3)<br />
]<br />
Ejemplo 2<br />
4<br />
Calcular ∫<br />
−2<br />
x −1 − 2 dx<br />
SOLUCIÓN:<br />
Para obt<strong>en</strong>er las reglas de correspond<strong>en</strong>cia que defin<strong>en</strong> a<br />
y = x −1 − 2<br />
f<br />
, obt<strong>en</strong>emos la gráfica de<br />
Entonces:<br />
52
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
4<br />
∫<br />
−2<br />
x −1<br />
− 2 dx =<br />
−1<br />
∫<br />
1<br />
∫<br />
( − x − 1) dx + ( x + 1) dx + ( − x + 3) dx + ( x − 3)<br />
−2<br />
−1<br />
1<br />
3<br />
−1<br />
1<br />
3<br />
4<br />
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞<br />
⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ x<br />
3 ⎟ ⎜ x<br />
= − − x + + x + − + x + − 3x⎟<br />
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ ⎠ −2<br />
⎝ ⎠ −1<br />
⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠ 3<br />
⎡⎛<br />
1 ⎞ ⎤ ⎡⎛<br />
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤<br />
⎡⎛<br />
9 ⎞ ⎛<br />
= ⎢⎜−<br />
+ 1⎟<br />
− ⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎣⎝<br />
2 ⎠ ⎦ ⎣⎝<br />
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦<br />
⎣⎝<br />
2 ⎠ ⎝<br />
= 5<br />
3<br />
∫<br />
4<br />
∫<br />
( − 2 + 2) + ⎜ + 1⎟<br />
− ⎜ − 1⎟<br />
+ ⎜−<br />
+ 9⎟<br />
− ⎜−<br />
+ 3⎟<br />
+ ( 8 − 12)<br />
dx<br />
1<br />
2<br />
⎞⎤<br />
⎥<br />
⎠⎦<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎛ 9 ⎞⎤<br />
− ⎜ − 9⎟⎥<br />
⎝ 2 ⎠⎦<br />
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN<br />
Si f y g son integrables <strong>en</strong> [ b]<br />
x ∈[ a,<br />
b<br />
∀ ]; <strong>en</strong>tonces: ∫ f ( x)<br />
dx ≤ ∫ g(<br />
x)<br />
dx<br />
b<br />
a<br />
a, y si ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
b<br />
a<br />
f ≤ ,<br />
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO<br />
Si f es integrable <strong>en</strong> [ a, b]<br />
y si<br />
m ≤ f ( x)<br />
≤ M , ∀ x ∈[ a,<br />
b]<br />
; <strong>en</strong>tonces:<br />
( − a) ≤ ∫ f ( x)<br />
dx ≤ M ( b − a)<br />
m b<br />
b<br />
a<br />
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN<br />
Supóngase que g ti<strong>en</strong>e una derivada continua <strong>en</strong> [ a,b]<br />
y sea f continua <strong>en</strong> el rango de g . Entonces:<br />
x=<br />
b<br />
∫<br />
x=<br />
a<br />
Ejemplo<br />
cos<br />
Calcular<br />
∫<br />
SOLUCIÓN:<br />
t = g ( b)<br />
∫<br />
t = g ( a)<br />
donde<br />
f ( g(<br />
x))<br />
g´(<br />
x)<br />
dx = f ( t)<br />
dt t = g(x)<br />
2<br />
π 4<br />
2<br />
π 9<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
53
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Tomando el cambio de variable t = x <strong>en</strong>tonces t<strong>en</strong>emos dx = 2 xdt<br />
, y para los límites de<br />
⎪⎧<br />
x =<br />
integración ⎨<br />
⎪⎩ x =<br />
π 2<br />
∫<br />
π 3<br />
= 2 1<br />
2<br />
π<br />
4<br />
2<br />
π<br />
9<br />
cost<br />
2<br />
x<br />
⇒ t =<br />
⇒ t =<br />
3<br />
2<br />
π<br />
2<br />
π<br />
3<br />
() − 2 = 2 − 3<br />
por tanto la integral <strong>en</strong> términos de t sería:<br />
π 2<br />
∫<br />
π 2<br />
π π<br />
xdt = 2 costdt<br />
= 2s<strong>en</strong> t = 2s<strong>en</strong> − 2s<strong>en</strong><br />
π 3<br />
π 3<br />
2<br />
3<br />
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la<br />
propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como <strong>en</strong> el caso de<br />
las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.<br />
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA<br />
1. Si f es una función PAR <strong>en</strong>tonces:<br />
a<br />
f ( x)<br />
dx = 2<br />
∫<br />
−a<br />
a<br />
0∫<br />
f ( x)<br />
dx<br />
2. Si f es una función IMPAR <strong>en</strong>tonces:<br />
a<br />
∫− a<br />
f ( x)<br />
dx = 0<br />
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma<br />
análoga y se recomi<strong>en</strong>da al lector que la realice.<br />
DEMOSTRACIÓN<br />
Aplicando la propiedad de aditividad f ( x)<br />
dx = f ( x)<br />
dx +<br />
∫ ∫<br />
a<br />
−a<br />
0<br />
−a<br />
a<br />
∫<br />
0<br />
f ( x)<br />
dx<br />
Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:<br />
Si tomamos el cambio de variable t = −x<br />
<strong>en</strong>tonces dt = −dx<br />
y para los límites de integración<br />
⎧x = 0 ⇒ t = 0<br />
⎨<br />
. Sustituy<strong>en</strong>do resulta<br />
⎩x<br />
= −a<br />
⇒ t = a<br />
0<br />
∫<br />
a<br />
f ( −t)<br />
0<br />
[ − dt] = −∫<br />
a<br />
f ( −t)<br />
dt<br />
54
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Por hipótesis f es una función par, por tanto se cumple que f ( −t)<br />
= f ( t)<br />
y además si<br />
invertimos los límites de integración, t<strong>en</strong>emos:<br />
0<br />
− f ( −t)<br />
dt =<br />
∫<br />
la última integral si t = x queda f ( −t)<br />
[ − dt] = f ( x)<br />
dx<br />
∫ ∫<br />
a<br />
0<br />
a<br />
a<br />
a<br />
0<br />
a<br />
a<br />
a<br />
∫<br />
0 0<br />
0<br />
Finalm<strong>en</strong>te f ( x)<br />
dx = f ( x)<br />
dx + f ( x)<br />
dx = 2<br />
∫ ∫ ∫<br />
−a<br />
a<br />
∫<br />
0<br />
f ( t)<br />
dt<br />
f ( x)<br />
dx L.Q.Q.D.<br />
Ejemplo<br />
Calcular<br />
5<br />
∫− 5<br />
SOLUCIÓN:<br />
5<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
x + 4<br />
Obt<strong>en</strong>gamos primero f ( − x)<br />
para<br />
5<br />
x<br />
f ( x)<br />
= .<br />
x<br />
2<br />
+ 4<br />
( −x)<br />
x<br />
f ( −x)<br />
= = −<br />
2<br />
2<br />
( −x)<br />
+ 4 x + 4<br />
Observe f ( − x)<br />
= − f ( x)<br />
, por tanto f es una función impar y por la propiedad de simetría,<br />
rápidam<strong>en</strong>te concluimos que:<br />
5<br />
∫− 5<br />
5<br />
x<br />
dx = 0<br />
2<br />
x + 4<br />
5<br />
5<br />
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD<br />
Si f es periódica con período T , <strong>en</strong>tonces:<br />
b+<br />
T<br />
∫ ( x)<br />
dx = ∫<br />
a+<br />
T<br />
f f ( x)<br />
dx<br />
b<br />
a<br />
DEMOSTRACIÓN<br />
En la integral<br />
b+<br />
T<br />
∫<br />
a+<br />
T<br />
f ( x)<br />
dx , haci<strong>en</strong>do cambio de variable t = x − T .<br />
55
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Del cambio de variable se obti<strong>en</strong>e<br />
⎧x<br />
= b + T ⇒ t = b<br />
⎨<br />
⎩x<br />
= a + T ⇒ t = a<br />
b+<br />
T<br />
x = t + T , dx = dt y los límites para la nueva variable son:<br />
Reemplazando, resulta: f ( x)<br />
dx = f ( t + T ) dt y como, por hipótesis, f es una función<br />
∫ ∫<br />
a+<br />
T<br />
b<br />
a<br />
periódica se cumple que f ( t + T ) = f ( t)<br />
, <strong>en</strong>tonces f ( t + T ) dt = f ( t)<br />
dt<br />
∫ ∫<br />
b+<br />
T<br />
Que finalm<strong>en</strong>te, si t = x quedaría f ( x)<br />
dx = f ( x)<br />
dx L.Q.Q.D.<br />
∫ ∫<br />
a+<br />
T<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL<br />
Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundam<strong>en</strong>tal del<br />
Cálculo.<br />
Sea f continua <strong>en</strong> [ b]<br />
de ( a,<br />
b)<br />
. Entonces:<br />
a, y sea " x " un punto variable<br />
d ⎡ x<br />
dx ⎢<br />
⎣ ∫<br />
a<br />
⎤<br />
f ( t)<br />
dt<br />
⎥<br />
= f ( x)<br />
⎦<br />
Ejemplo 1<br />
⎡<br />
Calcular D ⎢<br />
x<br />
⎢<br />
⎣<br />
x<br />
∫<br />
2<br />
3 ⎤<br />
2<br />
t<br />
dt⎥<br />
2<br />
t + 17 ⎥<br />
⎦<br />
SOLUCIÓN:<br />
Aplicando la propiedad anterior, rápidam<strong>en</strong>te concluimos que:<br />
⎡<br />
x<br />
3 ⎤<br />
⎢ t<br />
2 ⎥ x<br />
Dx<br />
⎢ dt⎥<br />
=<br />
2<br />
2<br />
⎢∫<br />
t + 17 ⎥ x<br />
⎣ 2<br />
⎦<br />
3<br />
2<br />
+ 17<br />
56
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Ejemplo 2<br />
⎡<br />
Calcular D ⎢<br />
x<br />
⎢<br />
⎣<br />
2<br />
∫<br />
x<br />
3 ⎤<br />
2<br />
t<br />
dt⎥<br />
2<br />
t + 17 ⎥<br />
⎦<br />
SOLUCIÓN:<br />
Invirti<strong>en</strong>do los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:<br />
⎡<br />
x<br />
3 ⎤<br />
3<br />
⎢ t<br />
2 ⎥ x<br />
2<br />
Dx<br />
⎢ − dt⎥<br />
= −<br />
2<br />
2<br />
⎢ ∫ t + 17 ⎥ x + 17<br />
⎣ 2<br />
⎦<br />
La propiedad anterior puede ser g<strong>en</strong>eralizada de la sigui<strong>en</strong>te manera:<br />
u(<br />
x)<br />
⎡ ⎤<br />
d ⎢<br />
du<br />
f ( t)<br />
dt⎥<br />
= [ f ( u)<br />
]<br />
dx ⎢∫<br />
⎥ dx<br />
⎢⎣<br />
a ⎥⎦<br />
Ejemplo 3<br />
Calcular<br />
⎡<br />
D<br />
⎢<br />
x<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
3<br />
x<br />
∫<br />
2<br />
3 ⎤<br />
2<br />
t<br />
dt<br />
⎥<br />
2<br />
t + 17<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
SOLUCIÓN:<br />
Aplicando la propiedad, concluimos que:<br />
⎡<br />
⎢<br />
Dx<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
3<br />
x<br />
∫<br />
2<br />
3<br />
⎤<br />
t<br />
2 ⎥<br />
dt⎥<br />
=<br />
2<br />
t + 17 ⎥<br />
⎥⎦<br />
3<br />
( x )<br />
3 2<br />
( x )<br />
3<br />
2<br />
+ 17<br />
2<br />
( 3x<br />
)<br />
=<br />
3x<br />
x<br />
6<br />
13<br />
2<br />
+ 17<br />
Ejemplo 4<br />
Calcular<br />
⎡<br />
D<br />
⎢<br />
x<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
3<br />
x<br />
∫<br />
2<br />
x<br />
3 ⎤<br />
2<br />
t<br />
dt<br />
⎥<br />
2<br />
t + 17<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
SOLUCIÓN:<br />
Aplicando la propiedad de aditividad, t<strong>en</strong>emos que:<br />
3<br />
⎡ x<br />
⎤ ⎡ 0<br />
3<br />
3<br />
⎢ t<br />
2 ⎥ ⎢ t<br />
2<br />
D x ⎢ dt⎥<br />
= Dx<br />
⎢ dt +<br />
⎢∫<br />
2<br />
2<br />
t 17 ⎥ ⎢ t + 17<br />
2<br />
2<br />
⎢⎣<br />
x<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
x<br />
Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:<br />
3<br />
x<br />
+ ∫ ∫<br />
0<br />
3<br />
⎤<br />
t<br />
2 ⎥<br />
dt⎥<br />
2<br />
t + 17 ⎥<br />
⎥⎦<br />
57
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
( )<br />
)<br />
(3<br />
17<br />
)<br />
(2<br />
17<br />
17<br />
17<br />
17<br />
17<br />
17<br />
17<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
D<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
D<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
D<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
D<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
D<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
+<br />
+<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
FINALMENTE:<br />
17<br />
2<br />
17<br />
3<br />
17<br />
4<br />
4<br />
6<br />
2<br />
13<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
+<br />
−<br />
+<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
∫<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
D<br />
x<br />
x<br />
x<br />
Ejemplo 5<br />
Calcular<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
∫<br />
x<br />
D x xtdt<br />
1<br />
SOLUCIÓN:<br />
Observe que<br />
por tanto:<br />
∫<br />
∫ =<br />
x<br />
x<br />
tdt<br />
x<br />
xtdt<br />
1<br />
1<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
( )<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
=<br />
•<br />
+<br />
•<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
•<br />
+<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
•<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
•<br />
=<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
t<br />
x<br />
x<br />
tdt<br />
tdt<br />
D<br />
x<br />
tdt<br />
x<br />
D<br />
tdt<br />
x<br />
D<br />
xtdt<br />
D<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
58
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Ejemplo 6<br />
1 t<br />
∫ −<br />
Calcular lím<br />
0<br />
x→0<br />
x<br />
SOLUCIÓN:<br />
2<br />
dt<br />
La expresión pres<strong>en</strong>ta una indeterminación de la forma: 0<br />
0<br />
x<br />
Aplicando la regla de L´Hopital, t<strong>en</strong>emos:<br />
⎡<br />
x<br />
⎢<br />
Dx<br />
⎢ 1−<br />
t<br />
⎢∫<br />
⎣ 0<br />
lím<br />
x→0<br />
D x<br />
x<br />
[]<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
dt⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
= lím<br />
x→0<br />
1−<br />
x<br />
1<br />
2<br />
=<br />
1−<br />
0<br />
1<br />
2<br />
= 1<br />
Ejercicios Propuestos 3.1<br />
1. Calcular<br />
3<br />
( ) ,<br />
a. f x dx si<br />
∫− 2<br />
f<br />
( x)<br />
4<br />
b. x − 1 dx<br />
∫<br />
0<br />
4<br />
c.<br />
∫− 2<br />
4<br />
⎪⎧<br />
2x<br />
2 , − 2 ≤ x ≤ 1<br />
= ⎨<br />
⎪⎩ 1−<br />
2x,<br />
1 < x ≤ 3<br />
3x<br />
−1<br />
dx<br />
d. ( 3 x − 1 + 2 − x )dx<br />
∫− 2<br />
5<br />
e. x − 1 − 2 dx<br />
∫− 2<br />
10 f. x dx<br />
∫0<br />
4<br />
∫ −<br />
g. ( x [ x ])<br />
π<br />
0<br />
2<br />
h.<br />
∫ 4<br />
2<br />
π<br />
9<br />
i.<br />
dx<br />
cos x<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
x + 2<br />
∫<br />
+<br />
0<br />
1<br />
∫<br />
2<br />
( x + 4 x 1)<br />
2<br />
dx<br />
j. [ x + cos ( 3 x − 3)<br />
]<br />
0<br />
3 dx<br />
1<br />
2<br />
∫<br />
k. s<strong>en</strong> ( 2 π x )<br />
0<br />
5<br />
∫<br />
dx<br />
l. 9 − x dx<br />
0<br />
e<br />
2<br />
m. ( x − 2 x 3) ln ( x)<br />
n.<br />
2<br />
∫<br />
+<br />
1<br />
1<br />
∫− 1<br />
100<br />
3<br />
x<br />
2<br />
( 1+<br />
x )<br />
dx<br />
4<br />
2 97 3<br />
o. x s<strong>en</strong> ( x − x)<br />
−∫<br />
100<br />
dx<br />
3 dx<br />
2. Determine el valor de verdad de las sigui<strong>en</strong>tes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y <strong>en</strong> caso de ser<br />
falsa de un contraejemplo.<br />
a. Si f ( x) ≤ g( x)<br />
<strong>en</strong> [ a , b] , f ( x) dx ≤ g ( x)<br />
dx<br />
99<br />
b<br />
∫<br />
3 2<br />
b.<br />
∫<br />
( ax + bx + cx ) dx =<br />
∫<br />
−99<br />
a<br />
99<br />
0<br />
2<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
2 bx dx<br />
59
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
b + T<br />
b<br />
=<br />
∫ ∫<br />
a + T<br />
a<br />
c. Si f es periódica con período T, <strong>en</strong>tonces: f ( x ) dx f ( x )<br />
b<br />
∫<br />
− a<br />
∫<br />
d. ∀ f , f ( − x ) dx = f ( x ) dx<br />
a<br />
e. Si es una función par<br />
−b<br />
f ∀ x ∈ [ −a,<br />
a]<br />
, <strong>en</strong>tonces f ( x ) dx = 2<br />
∫ ∫<br />
a<br />
− a<br />
f. Si f ( x) ≤ g( x)<br />
<strong>en</strong> [ a, b]<br />
, <strong>en</strong>tonces f ( x ) dx ≤ g ( x )<br />
g. Si F′ ( x) = G′<br />
( x) ∀x<br />
∈[ a,<br />
b] , F( b) − F( a) = G( b) − G( a)<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
dx<br />
a<br />
0<br />
dx<br />
f ( x ) dx<br />
h. Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f . Entonces<br />
f ( g( x)<br />
) g′ ( x ) dx = F( g ( x ) ) + C<br />
∫<br />
3. Encu<strong>en</strong>tre f ′ si f toma las sigui<strong>en</strong>tes reglas de correspond<strong>en</strong>cia:<br />
s<strong>en</strong> x ln x<br />
1<br />
a. dt<br />
∫ 1 − t<br />
0<br />
3<br />
2 x sec<br />
3 5<br />
b. 1 − t dt<br />
ln x<br />
∫<br />
x<br />
e<br />
∫<br />
tanx<br />
3<br />
1<br />
c. dt<br />
2 − t<br />
x<br />
x<br />
e ln x sec x<br />
3<br />
x + s<strong>en</strong> x<br />
2 t<br />
4 5<br />
t − 1<br />
2<br />
x<br />
d.<br />
∫<br />
e.<br />
3<br />
x s<strong>en</strong><br />
ln<br />
6 log<br />
( tanx )<br />
∫<br />
2<br />
( x + 1)<br />
f.<br />
∫<br />
1 −<br />
x<br />
3<br />
2<br />
x<br />
2<br />
dt<br />
1 + s<strong>en</strong> t<br />
3<br />
1 − t<br />
cos t − s<strong>en</strong><br />
cos t<br />
dt<br />
t<br />
dt<br />
4. Determine:<br />
a.<br />
b.<br />
lim<br />
x → 0<br />
x<br />
∫<br />
0<br />
x<br />
∫<br />
lim 1<br />
s<strong>en</strong><br />
2<br />
( t )<br />
3<br />
x<br />
s<strong>en</strong>t dt<br />
+<br />
x → 1 x −<br />
1<br />
dt<br />
c.<br />
d.<br />
lim<br />
x→ ∞<br />
d<br />
dx<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
x<br />
x<br />
∫<br />
0<br />
1<br />
2<br />
∫<br />
1 + e<br />
x<br />
dt<br />
−t<br />
2<br />
⎤<br />
1−5t<br />
⎥ ⎥⎥ ⎦<br />
dt<br />
2<br />
60
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
Misceláneos<br />
1. A cada una de las proposiciones sigui<strong>en</strong>tes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su<br />
respuesta.<br />
a) Si ´ es una función continua <strong>en</strong> el intervalo a , b <strong>en</strong>tonces<br />
f [ ]<br />
b<br />
∫<br />
a<br />
2 f ( x ) f ´( x ) dx<br />
=<br />
2<br />
[ f ( b )] − [ f ( a )]<br />
2<br />
b) Si ( ) = 0 <strong>en</strong>tonces<br />
∫ b f x dx<br />
( x ) = 0<br />
a<br />
f para ∀ x ∈ [ a , b ]<br />
c) Si f es una función continua <strong>en</strong><br />
d<br />
dx<br />
n<br />
d) [ ]<br />
( n + 1)<br />
⎛ arctgx ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ f ( x ) dx ⎟ =<br />
⎜ ∫ ⎟<br />
⎜ 2 ⎟<br />
⎝ x ⎠<br />
IR , <strong>en</strong>tonces:<br />
( arctgx ) 2<br />
− f ( x )<br />
f<br />
2<br />
x<br />
+ 1<br />
n<br />
x dx =<br />
∫ + 1<br />
2<br />
; n ∈ IN<br />
0<br />
g son funciones impares y continuas <strong>en</strong> IR , <strong>en</strong>tonces<br />
e) Si f y<br />
f)<br />
5<br />
∫− 5<br />
( f o g )( x ) dx = 0<br />
2<br />
⎡ x<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
4<br />
4<br />
D x<br />
⎢ 1 + t dt ⎥ = 2 x 1 + x<br />
⎢∫<br />
⎥<br />
⎢<br />
4<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
2<br />
⎡<br />
g)<br />
4 x<br />
⎢5<br />
x + xe<br />
⎣ ∫− 2<br />
h) Si y<br />
2<br />
3<br />
− x<br />
4 ⎤<br />
1 + x ⎥ dx<br />
⎦<br />
= 64<br />
f g son funciones continuas <strong>en</strong> el intervalo [ ,1]<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
f<br />
∫<br />
0 <strong>en</strong>tonces<br />
( x ) g ( − x ) dx = f ( 1 − x ) g ( x )<br />
1<br />
1 dx<br />
0<br />
i) Si ( ) ≥ 0 <strong>en</strong>tonces para<br />
∫ b f x dx<br />
( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ a , b<br />
a<br />
f [ ]<br />
2π<br />
π<br />
2<br />
j) s<strong>en</strong>x dx =<br />
∫ ∫<br />
2<br />
3<br />
∫<br />
4 s<strong>en</strong>xdx<br />
0<br />
k) Si f ( x ) dx = 3 y f ( x ) dx = 7 <strong>en</strong>tonces f ( x ) dx = − 4<br />
0<br />
4<br />
∫<br />
1 1<br />
l)<br />
2<br />
xdx ≥ 1 + x dx<br />
∫ ∫<br />
0 0<br />
0<br />
3<br />
∫<br />
4<br />
61
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
m) Si f es una función continua <strong>en</strong> IR tal que para cualquier número real x ,<br />
2x1<br />
2x1<br />
f ( t)<br />
dt = f ( t)<br />
dt = 0 <strong>en</strong>tonces f<br />
∫<br />
es una función impar.<br />
∫− x<br />
x<br />
n) Si F es una antiderivada de la dunción<br />
f<br />
, <strong>en</strong>tonces<br />
f [ ,5]<br />
o) Si es una función continua <strong>en</strong> el intervalo<br />
−5<br />
∫<br />
−2<br />
f ( x)<br />
dx = −7<br />
2<br />
x<br />
F (2x<br />
+ 1) = f (2x<br />
+ 1)<br />
dx<br />
∫<br />
5<br />
2 y f ( x)<br />
dx = 7<br />
∫<br />
<strong>en</strong>tonces<br />
2<br />
p) Si f es una función tal que 2 f ( x)<br />
+ 3 cos t dt = 0<br />
∫<br />
<strong>en</strong>tonces<br />
f ´( x)<br />
= −3x<br />
cos<br />
x<br />
0<br />
q) Si f y g son funciones tales que f ( x ) =<br />
x<br />
xe y f ( x ) ≥ g ( x ) para todo<br />
[ 0 ,1]<br />
( )<br />
x ∈ <strong>en</strong>tonces g x dx ≤ 1 .<br />
1<br />
∫<br />
r) Si ∀ ∈ [ 0,2 ],<br />
0 ≤ ( ) ≤ 1<br />
0<br />
x f x <strong>en</strong>tonces 0 ≤ f ( x)<br />
dx ≤ 1<br />
∫<br />
f [ ,10]<br />
s) Si es una función continua <strong>en</strong> el intervalo<br />
[ 0,10]<br />
x ∈ <strong>en</strong>tonces<br />
3 3<br />
f ´( 1) = e .<br />
5<br />
2π 2π<br />
t) s<strong>en</strong>x dx = cos x dx<br />
∫ ∫<br />
2<br />
2<br />
n<br />
π ⎛ πi<br />
⎞<br />
u) lim cos⎜<br />
⎟ = π<br />
n→<br />
n ⎝ n ⎠<br />
+∞∑= i 1<br />
n<br />
v) lim<br />
p →0∑=<br />
i 1<br />
2<br />
2<br />
cos<br />
π<br />
i =<br />
2<br />
( ) 1<br />
2<br />
0<br />
0 y<br />
2<br />
⎛3x<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜ t<br />
e<br />
f ( x)<br />
= Dx<br />
dt<br />
⎟<br />
para<br />
⎜∫<br />
2<br />
t + 1<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
x donde p = max. { ∆ } p es una partición del intervalo [ ,π]<br />
w) Si<br />
2<br />
2 f ( x)<br />
+ x dx = , <strong>en</strong>tonces f ( x)<br />
dx = −1<br />
∫− 1<br />
∫− 1<br />
2<br />
x i<br />
0 .<br />
62
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
x)<br />
lim<br />
x → 0<br />
+<br />
∫<br />
x<br />
s<strong>en</strong><br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
tg ⎜ x<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
( t )<br />
3<br />
2<br />
⎞<br />
dt<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
1<br />
3<br />
n ⎛ 2i<br />
⎞<br />
⎜1<br />
+ ⎟<br />
2<br />
y)<br />
2<br />
lim ⎝ n<br />
e ⎠ = e − 1<br />
n→∞<br />
n ∑= i 1<br />
a+<br />
2π b+<br />
2π<br />
z) ∀a,<br />
b ∈ R,<br />
s<strong>en</strong>x dx = cos xdx<br />
∫ ∫<br />
a<br />
b<br />
2. Calcular<br />
a.<br />
b.<br />
x<br />
∫ −<br />
0<br />
lim<br />
x → 0 3<br />
x<br />
2<br />
1<br />
∫<br />
−<br />
1<br />
π<br />
( 1 cos t )<br />
2<br />
( 6 x )<br />
3<br />
2<br />
dx<br />
dt<br />
4<br />
x −<br />
i.<br />
∫<br />
3<br />
x −<br />
2<br />
ln 5<br />
j.<br />
∫<br />
2<br />
e<br />
t +<br />
ln 2<br />
21<br />
12<br />
4 dx<br />
x<br />
16<br />
k. ( x −1<br />
− 3)<br />
2 dx<br />
dt<br />
cos<br />
2<br />
xs<strong>en</strong><br />
3<br />
xdx<br />
∫− 2<br />
3<br />
c.<br />
∫ 2 0<br />
2<br />
d.<br />
∫<br />
2<br />
x + 2 x +<br />
e.<br />
3<br />
1<br />
2<br />
x<br />
s<strong>en</strong><br />
∫0<br />
lim<br />
x → 0 6<br />
x<br />
3<br />
∫<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
( t )<br />
f. ( x − [ x ])<br />
0<br />
3<br />
2 dx<br />
g. ( x x + − x − 2 )<br />
∫− 2<br />
5<br />
h.<br />
∫ 2 + x −<br />
1<br />
1<br />
dt<br />
1 dx<br />
dx<br />
1<br />
l. 2 x + 3 dx<br />
∫− 2<br />
2π<br />
1<br />
m.<br />
∫ + cos x<br />
dx<br />
2<br />
π<br />
2<br />
n.<br />
2<br />
x<br />
s<strong>en</strong> () t<br />
dt<br />
∫<br />
2<br />
t + 1<br />
0<br />
lim<br />
x → 0 3<br />
x<br />
4<br />
− 2 x − 3<br />
o. e dx<br />
∫− 3<br />
2<br />
⎛ 3<br />
s<strong>en</strong> x<br />
⎜ 2<br />
⎝ x + 1 ∫− 2<br />
x ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( )<br />
p. ⎜ + e ⎟dx<br />
63
MOISES VILLENA MUÑOZ<br />
Cap 3 La Integral Definida<br />
2<br />
−3t<br />
3. Si es una función tal que f ( x)<br />
= 9t<br />
− 48t<br />
+ 56 e dt,<br />
x ∈ IR . Determine los intervalos donde el<br />
f ( )<br />
∫<br />
x<br />
gráfico de f es cóncava hacia arriba.<br />
3<br />
4<br />
7<br />
7<br />
4. Si f y g son funciones tales que f ( x)<br />
dx = 3 , f ( x)<br />
dx = −2<br />
y 3g(<br />
x)<br />
dx = 6 , <strong>en</strong>tonces calcule<br />
∫ ∫ ∫<br />
1<br />
4<br />
1<br />
1<br />
el valor de [ 5 f ( x)<br />
+ g(<br />
x)<br />
] dx<br />
∫<br />
7<br />
64