3° año - Departamento de Fisica del CNBA
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<strong>Departamento</strong> <strong>de</strong> Física<br />
Guía <strong>de</strong> Problemas<br />
3° año<br />
2013
MEDICIONES E INCERTEZAS EXPERIMENTALES<br />
1) Indicar tres causas <strong>de</strong> incertezas sistemáticas y tres <strong>de</strong> incertezas acci<strong>de</strong>ntales.<br />
2) Un cuerpo fue pesado 5 veces, obteniéndose los siguientes resultados:<br />
10,30 kg 1035 dag 10,25 kg 10400 g 10200 g<br />
a) Expresar correctamente el resultado para el peso <strong>de</strong>l cuerpo.<br />
b) Justificar si la medición anterior tiene o no mayor precisión que otra cuyo resultado fue<br />
(100+3) g .<br />
Rta: a) (10,3 ± 0,1) kg<br />
3) La medición <strong>de</strong>l ancho <strong>de</strong> una mesa dio por resultado L = ( 77,1 ± 0,3 ) cm.<br />
a) Indicar el significado <strong>de</strong> esa expresión.<br />
b) Calcular el e r y el e r % para dicha medición<br />
c) Justificar si otra medición que diera por resultado L’ = ( 76,9 ± 0,4 ) cm, podría consi<strong>de</strong>rarse<br />
también representativa <strong>de</strong> una medición <strong>de</strong>l ancho <strong>de</strong> la misma mesa.<br />
4) Una distancia entre dos ciuda<strong>de</strong>s (400km) se mi<strong>de</strong> con incerteza absoluta <strong>de</strong> 1km. El largo <strong>de</strong> una<br />
mesa ( 1m ), con incerteza absoluta <strong>de</strong> 1cm.<br />
a) Expresar correctamente los resultados para ambas mediciones.<br />
b) Justificar cuál <strong>de</strong> ellas está medida con mayor aproximación y cuál con mayor precisión.<br />
5) ¿Qué procedimiento utilizarían para medir el espesor <strong>de</strong> una hoja <strong>de</strong> carpeta sin <strong>de</strong>masiada<br />
incerteza?<br />
6) Un grupo <strong>de</strong> estudiantes observa que colocando cierto volumen V <strong>de</strong> líquido en un recipiente,<br />
sucesivas veces, el fluido alcanza distintas alturas h. Ellos se proponen averiguar si existe alguna<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia entre las variables. Para medir los volúmenes <strong>de</strong> agua utilizan una probeta y para<br />
recibir el líquido que van volcando, un recipiente cilíndrico que tiene adherida verticalmente una<br />
cinta métrica. Luego <strong>de</strong> efectuar varias mediciones registran los valores en una tabla:<br />
V<br />
(cm 3 )<br />
εV<br />
(cm 3 )<br />
h<br />
(cm)<br />
εh<br />
(cm)<br />
20 2 0,6 0,1<br />
40 2 1,3 0,1<br />
60 2 1,9 0,1<br />
80 2 2,5 0,1<br />
100 2 3,0 0,1<br />
120 2 3,6 0,1<br />
140 2 4,2 0,1<br />
160 2 4,8 0,1<br />
180 2 5,4 0,1<br />
a) I<strong>de</strong>ntificar las variables in<strong>de</strong>pendiente y <strong>de</strong>pendiente.<br />
b) Para establecer si existe alguna relación entre las variables se realizará un gráfico. Explicar por qué<br />
se proce<strong>de</strong> <strong>de</strong> esa manera en lugar <strong>de</strong> obtener conclusiones mediante cálculos con los valores <strong>de</strong> la<br />
tabla.<br />
c) Representar gráficamente los valores <strong>de</strong> las variables indicando las escalas.<br />
20
d) Aplicar el método que permita obtener la mayor información posible sobre la relación entre el<br />
volumen <strong>de</strong> líquido y la altura alcanzada por el mismo en el recipiente cilíndrico.<br />
e) Expresar las conclusiones que se obtienen a partir <strong>de</strong>l gráfico, vincularlas con el sistema utilizado<br />
durante el experimento. ¿Pue<strong>de</strong> conocerse alguna característica <strong>de</strong>l recipiente? Justificar.<br />
7) El grupo <strong>de</strong>l problema anterior realiza el mismo experimento pero ahora usa un recipiente<br />
cilíndrico más angosto. Qué hipótesis plantearían uste<strong>de</strong>s con respecto a la <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia entre h y V<br />
en este caso. Justifiquen la respuesta.<br />
8) Durante cierto tiempo se mi<strong>de</strong> la temperatura <strong>de</strong> una masa <strong>de</strong> la sustancia X, los valores se indican<br />
en la tabla, consi<strong>de</strong>rar que T correspon<strong>de</strong> a las temperaturas y ∆t a los intervalos <strong>de</strong> tiempo.<br />
T (ºC) εT(ºC) ∆t(s) ε∆t(s)<br />
22,6 0,2 5,0 0,2<br />
22,6 0,2 10,0 0,2<br />
22,6 0,2 15,0 0,2<br />
22,6 0,2 20,0 0,2<br />
22,4 0,2 25,0 0,2<br />
22,4 0,2 30,0 0,2<br />
22,2 0,2 35,0 0,2<br />
a) ¿Todos los valores <strong>de</strong> la tabla tienen la misma aproximación? Justificar<br />
b) ¿Qué pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cir <strong>de</strong> la precisión <strong>de</strong> los valores <strong>de</strong> la tabla? Justificar<br />
c) Representar gráficamente T = f (∆t). Expresar las conclusiones que se obtienen a partir <strong>de</strong>l gráfico.<br />
9) Para dos longitu<strong>de</strong>s se obtuvieron: X = ( 70,46 ±0,04) cm; Y=(7,08±0,02) cm.<br />
a) Justificar cuál es el valor más aproximado y cuál el más preciso.<br />
b) Expresar el resultado para la longitud <strong>de</strong>l segmento suma <strong>de</strong> X+Y.<br />
Rta:(77,54±0,06)cm<br />
c) I<strong>de</strong>m para la resta X-Y.<br />
Rta:(63,38±0,06)cm<br />
d) Sea un rectángulo <strong>de</strong> base X y altura Y. Expresar correctamente el resultado para el área <strong>de</strong><br />
dicho rectángulo y <strong>de</strong>terminar e r %.<br />
Rta: S=(498,9 ± 1,7) cm 2 ; e%=0,34%.<br />
e) Expresar correctamente el resultado para el cociente C=X/Y y <strong>de</strong>terminar el e% <strong>de</strong> dicha<br />
medición.<br />
Rta: C=(9,95±0,03); e%=0,3%.<br />
10) Un paralelepípedo rectángulo tiene las siguientes dimensiones, correspondientes al largo y al<br />
ancho <strong>de</strong> su base, y a su altura:<br />
L=(5,0±0,1)cm A=(10,0±0,1)cm H=(2,0±0,1)cm<br />
Expresar el resultado experimental para el volumen <strong>de</strong>l cuerpo mencionado.<br />
Rta:(100 ± 8)cm 3<br />
11) Se tienen 2 tanques con distintas formas: el primero tiene base rectangular <strong>de</strong> 12 dm <strong>de</strong> largo por<br />
¾m <strong>de</strong> ancho y su altura es <strong>de</strong> 80cm. El segundo tiene forma cilíndrica con 1m <strong>de</strong> diámetro y 120<br />
cm <strong>de</strong> altura. Previo dibujo don<strong>de</strong> consten las dimensiones <strong>de</strong> cada tanque, se pi<strong>de</strong>:<br />
a) Calcular cuántos litros <strong>de</strong> líquido cabrán en cada tanque.<br />
21
) Sabiendo que los volúmenes se obtuvieron con 10% <strong>de</strong> error en cada caso, <strong>de</strong>terminar los<br />
errores o incertezas absolutas (ε ) para cada volumen y expresar correctamente los resultados para<br />
la medición <strong>de</strong> cada volumen.<br />
c) Dibujar los intervalos <strong>de</strong> in<strong>de</strong>terminación correspondientes a las mediciones <strong>de</strong> ambos<br />
volúmenes.<br />
d) Justificar cuál <strong>de</strong> esas 2 mediciones es más aproximada y cuál más precisa.<br />
Rtas: a) 720 l y 942 l ; b) V 1 = (720+72) l y V 2 = (942,0+94,2) l ; d) V 1 , pero tienen = precisión<br />
OTROS PROBLEMAS…<br />
12) Determinar correctamente el volumen <strong>de</strong> una esfera cuyo radio es R=(2,0 ± 0,2)cm.<br />
Rta: V=(34 ± 10)cm 3<br />
13) a) Discutir cómo medir los diámetros y la longitud <strong>de</strong> una circunferencia y luego realizar esas<br />
mediciones varias veces disponiendo los resultados en un cuadro <strong>de</strong> valores.<br />
b) Expresar correctamente los resultados experimentales para L y D.<br />
c) Determinar experimentalmente el número π=L/D y expresar correctamente el resultado.<br />
d) Dibujar el intervalo <strong>de</strong> in<strong>de</strong>terminación. Discutir resultados.<br />
22
CINEMÁTICA<br />
Introducción y movimiento rectilíneo uniforme<br />
1) a) El módulo <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong>l sonido en el aire seco a una temperatura <strong>de</strong> 20°C es <strong>de</strong><br />
aproximadamente 340 m/s. Expresarla en km/h.<br />
Rta: 1224 km/h.<br />
b) El módulo <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> la luz en el vacío es <strong>de</strong> aproximadamente 3x10 5 km/s. Expresarla<br />
en km/h.<br />
Rta: 1,08.10 9 km/h<br />
c) Suponiendo que un avión se mueve aproximadamente a 1440 km/h, y otro a 450 m/s. ¿Cuál <strong>de</strong><br />
ellos tiene velocidad <strong>de</strong> mayor módulo (o, lo que es lo mismo, mayor rapi<strong>de</strong>z)?<br />
2) Un micro <strong>de</strong> larga distancia se dirige <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la ciudad <strong>de</strong> Bs. As. hacia la ciudad <strong>de</strong> Junín y luego<br />
regresa a Bs. As. El conductor <strong>de</strong>l micro aporta los siguientes datos aproximados acerca <strong>de</strong>l<br />
recorrido:<br />
El micro salió a las 10:00 hs. <strong>de</strong> Buenos Aires. A las 12:00 hs. se encontraba en el km 130 <strong>de</strong> la<br />
ruta nacional N°7 (localidad <strong>de</strong> Carmen <strong>de</strong> Areco). A las 13:15 hs. llegó a la ciudad <strong>de</strong> Junín (km<br />
250). Luego <strong>de</strong> cargar pasajeros y combustible emprendió el regreso a Buenos Aires. Pasó por<br />
Carmen <strong>de</strong> Areco a las 15:45 hs. y llegó al lugar <strong>de</strong> partida a las 17:30 hs.<br />
Suponiendo un movimiento rectilíneo, hallar el módulo <strong>de</strong> la velocidad media e indicar el sentido <strong>de</strong>l<br />
vector para los siguientes <strong>de</strong>splazamientos <strong>de</strong>l micro:<br />
a) Des<strong>de</strong> Buenos Aires a Carmen <strong>de</strong> Areco.<br />
b) Des<strong>de</strong> Buenos Aires a Junín.<br />
c) Des<strong>de</strong> Carmen <strong>de</strong> Areco a Junín.<br />
d) Des<strong>de</strong> Junín a Carmen <strong>de</strong> Areco.<br />
e) Des<strong>de</strong> Junín a Buenos Aires.<br />
f) El viaje completo <strong>de</strong>l micro, ida y vuelta <strong>de</strong> Buenos Aires a Junín.<br />
g) Discutir qué información nos proporciona el módulo <strong>de</strong> la velocidad media. Suponiendo que el<br />
límite <strong>de</strong> velocidad permitido en la ruta N°7 es <strong>de</strong> 100 km/h, ¿pue<strong>de</strong> saberse con la<br />
información dada si el micro superó ese límite en algún momento <strong>de</strong>l recorrido?<br />
h) Discutir el signo <strong>de</strong> la velocidad media en cada tramo <strong>de</strong>l viaje.<br />
i) ¿Sería correcto afirmar que el micro se movió con mayor rapi<strong>de</strong>z en el viaje <strong>de</strong> ida que en el<br />
<strong>de</strong> vuelta? Discutir.<br />
Rta (módulo <strong>de</strong>l vector, valores aproximados): a) 65 km/h; b) 76,9 km/h; c) 96 km/h; d)48 km/h; e)<br />
58,8 km/h; f) 0<br />
3) El siguiente gráfico representa en forma aproximada el<br />
movimiento <strong>de</strong> tres móviles<br />
a) Indique las velocida<strong>de</strong>s que según el gráfico tenía<br />
cada móvil.<br />
b) ¿Cuál <strong>de</strong> los tres móviles recorrió mayor distancia<br />
entre 20s y 40s?<br />
c)¿ Cuál recorrió mayor distancia entre 0s y 40s?<br />
Rta : a) v 1 =0 ; v 2 = v 3 = 0,5 m/s<br />
b) 2 y 3 ; c) 2<br />
23
4) Determinar cuáles <strong>de</strong> los siguientes diagramas podrían correspon<strong>de</strong>r a movimientos físicamente<br />
realizables por un cuerpo material, justificando el por qué.<br />
Rta: a) SI; b) NO; c) NO; d) SI.<br />
5) El siguiente gráfico representa en forma aproximada cómo ha variado la posición <strong>de</strong> un móvil que<br />
se <strong>de</strong>splazaba en línea recta. A partir <strong>de</strong> él, interpretar cómo ha variado su velocidad. (Notar que en<br />
el gráfico se ha consi<strong>de</strong>rado <strong>de</strong>spreciable el tiempo necesario para producir cada cambio en la<br />
velocidad). Trazar el diagrama <strong>de</strong> v=f(t) correlativamente con el <strong>de</strong> x(t) y <strong>de</strong>cir:<br />
a) ¿cuál es la distancia total recorrida en base a ese diagrama?<br />
b) ¿cuál es el <strong>de</strong>splazamiento efectuado?<br />
c) Dibujar la trayectoria <strong>de</strong>l móvil.<br />
Rta.:a) 90 m ; b) 30 m<br />
6) Juan sale <strong>de</strong> su casa cierto día en dirección al kiosco. Camina una cuadra y comprueba que tarda<br />
aprox. 30 segundos. Se <strong>de</strong>tiene al completar la segunda cuadra para atarse los cordones <strong>de</strong> las<br />
zapatillas durante 20 segundos y continúa su marcha. El kiosco se encuentra a tres cuadras <strong>de</strong> su<br />
casa y permanece allí 1 minuto. Vuelve a su casa corriendo y comprueba que recorre la distancia<br />
total en una tercera parte <strong>de</strong>l tiempo que tardó a la ida.<br />
a) Hacer un esquema <strong>de</strong> la situación (casa <strong>de</strong> Juan, kiosco) y <strong>de</strong>finir un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas.<br />
b) Graficar x(t) y v(t) bajo la aproximación <strong>de</strong> que los intervalos <strong>de</strong> tiempo empleados por Juan<br />
para cambiar su velocidad son <strong>de</strong>spreciables.<br />
c) Suponiendo que la velocidad <strong>de</strong> caminata <strong>de</strong> Juan es aproximadamente constante escribir las<br />
ecuaciones horarias que podrían representar cada tramo <strong>de</strong> su movimiento.<br />
24
d) Repetir los gráficos en forma cualitativa, pero ahora consi<strong>de</strong>rando que cada cambio <strong>de</strong> velocidad<br />
se produce en un intervalo <strong>de</strong> tiempo <strong>de</strong> aproximadamente 10 segundos (ya no es un tiempo<br />
<strong>de</strong>spreciable comparado con los otros tiempos involucrados).<br />
7) Los siguientes gráficos correspon<strong>de</strong>n a movimientos rectilíneos uniformes.<br />
a) Escribir las ecuaciones horarias correspondientes para cada uno <strong>de</strong> ellos.<br />
b) Dibujar las correspondientes trayectorias.<br />
Rta.: a) x(t)=10 m+1,67m/s . t ; b) x(t)= 10 m -2m/s . t ; c) x(t)= -5m+ 2,5 m/s .t<br />
d) x(t)=40m – 20m/s . (t-2s) ; e) x(t)=60m – 10m/s . (t+2s)<br />
8) En la Tabla 1 se presentan mediciones <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong> un móvil en distintos tiempos. El<br />
móvil seguía una trayectoria rectilínea. Analizar los resultados y extraer conclusiones respecto <strong>de</strong>l<br />
movimiento. A partir <strong>de</strong> estas mediciones <strong>de</strong>terminar el valor <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong>l móvil y su<br />
incerteza absoluta. ¿Pue<strong>de</strong>n usarse estos datos para pre<strong>de</strong>cir el <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong>l móvil en otros<br />
tiempos para los cuales no se han tomado mediciones? Discutir. En caso afirmativo, dar el<br />
<strong>de</strong>splazamiento y su incerteza absoluta para t=3s y para t=10s.<br />
∆x (cm) ε∆x (cm) t (s) εt (s)<br />
20 5 1,2 0,2<br />
60 5 4,0 0,2<br />
80 5 5,6 0,2<br />
100 5 6,9 0,2<br />
110 5 7,5 0,2<br />
Tabla 1: Mediciones <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong> un móvil para distintos intervalos <strong>de</strong> tiempo.<br />
9) Se midió el tiempo empleado por un carrito para realizar distintos <strong>de</strong>splazamientos sobre una pista<br />
dispuesta horizontalmente. El carrito era impulsado mediante un sistema que incluye un resorte, el<br />
cual pue<strong>de</strong> comprimirse y liberarse a voluntad. A mayor compresión inicial <strong>de</strong>l resorte resulta<br />
mayor el impulso que éste transmite al carrito. En el gráfico 1ª y 1b se observan los resultados<br />
obtenidos para dos compresiones diferentes <strong>de</strong>l resorte. Analizar dichos gráficos y extraer<br />
conclusiones acerca <strong>de</strong>l movimiento <strong>de</strong>l carrito en cada caso. Escribir funciones horarias que<br />
25
epresenten el movimiento <strong>de</strong> cada uno si fuera posible. Comparar ambos movimientos: ¿en qué<br />
caso, a ó b, se dio una mayor compresión inicial al resorte?<br />
26
PROBLEMAS DE ENCUENTRO (M.R.U)<br />
1) Analizaremos distintos casos para dos automóviles que se <strong>de</strong>splazan con MRU por la misma ruta.<br />
Supongamos para todos los casos que los módulos <strong>de</strong> las velocida<strong>de</strong>s son : v 1 =100 km/h y v 2 =50<br />
km/h. Para cada caso habrá que hacer la representación gráfica <strong>de</strong> las funciones horarias y también<br />
resolver el problema analíticamente.<br />
a) El móvil 1 sale <strong>de</strong> Bs. As. Y el móvil 2 <strong>de</strong> Viedma (consi<strong>de</strong>rar la distancia Bs. As.-Viedma <strong>de</strong><br />
aproximadamente 1.000 km), a la misma hora, ambos rumbo al sur <strong>de</strong>l país. ¿Dón<strong>de</strong> y cuándo se<br />
encuentran?<br />
Rta.: 20 h. a 2.000 km <strong>de</strong> Bs. As.<br />
b) El móvil 1 sale <strong>de</strong> Bs. As., mientras que el móvil 2 había salido <strong>de</strong> Viedma, pero 5 horas antes,<br />
ambos rumbo al sur. Hallar el encuentro.<br />
Rta.: t=25 h. ; x=2500 km <strong>de</strong> Bs. As.<br />
c) El móvil 1 sale <strong>de</strong> Bs. As. 10 hs <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l momento en que el móvil 2 salió <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Viedma,<br />
ambos rumbo al sur. ¿En qué lugar y a qué hora (contada a partir <strong>de</strong>l que salió más temprano) se<br />
encuentran?<br />
Rta.: t=40 h.; x=3000 km <strong>de</strong> Bs. As.<br />
2) Dos móviles pasan simultáneamente con M.R.U. por dos posiciones A y B distantes entre sí 6 km<br />
con velocida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> 36 km/h y 72 km/h <strong>de</strong> módulo respectivamente, paralelos al segmento AB y <strong>de</strong><br />
sentidos opuestos. Hallar analítica y gráficamente la posición y el instante en el que se encontrarán.<br />
Rta.: t=200 s=1/18 hora; x= 2 km <strong>de</strong> A<br />
3) En una esquina, una persona ve cómo un muchacho pasa en su auto a una velocidad <strong>de</strong> módulo<br />
igual a 20 m/s. Diez segundos <strong>de</strong>spués una patrulla <strong>de</strong> la policía pasa por la misma esquina<br />
persiguiéndolo a 30 m/s. Consi<strong>de</strong>rar que ambos mantienen su velocidad constante.<br />
a) ¿A qué distancia <strong>de</strong> la esquina alcanzará el policía al muchacho?<br />
b) ¿En qué instante se produce el encuentro?<br />
Rta.: t =30 s; x =600 m<br />
4) Un globo <strong>de</strong> helio ascien<strong>de</strong> verticalmente con una velocidad constante <strong>de</strong> módulo 10 m/s. Un<br />
paracaidista que viene <strong>de</strong>scendiendo a velocidad constante en la misma dirección se cruza con el<br />
globo cuando ambos se hallan a 150 m <strong>de</strong>l piso. El paracaidista toca tierra 25 segundos <strong>de</strong>spués <strong>de</strong>l<br />
cruce.<br />
a) Elegir un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas e indicarlo mediante un esquema.<br />
b) Escribir las ecuaciones horarias y graficar posición en función <strong>de</strong>l tiempo para ambos cuerpos<br />
(en un mismo par <strong>de</strong> ejes).<br />
c) ¿A qué altura, medida respecto <strong>de</strong> tierra, se hallaba el paracaidista cuando el globo parte <strong>de</strong>l<br />
piso?<br />
Rta.: c) 240m<br />
OTROS PROBLEMAS…<br />
5) La casa <strong>de</strong> Juan se encuentra a 900 m (9 cuadras) <strong>de</strong> la casa <strong>de</strong> Diana. Caminando con velocidad<br />
constante, Juan tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre en 15<br />
minutos. Cierto día parten ambos a las 15 hs., cada uno <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su casa y dirigiéndose a casa <strong>de</strong>l<br />
otro. Determine a qué hora y a qué distancia <strong>de</strong> la casa <strong>de</strong> Diana se encuentran.<br />
Rta.: t=15 h 6 min; x =360 m<br />
6) Dos trenes que marchan sobre vías paralelas, parten simultáneamente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> dos estaciones que<br />
distan 3 km, con igual sentido. El tren que va más a<strong>de</strong>lante, se mueve con v=80 km/h mientras que<br />
el que va <strong>de</strong>trás lleva una v=120 km/h.<br />
a) ¿Cuánto tiempo tardan en alcanzarse?<br />
27
) ¿Qué distancia recorre cada tren antes <strong>de</strong> encontrarse?<br />
Rta.: a) 0.075 h=4,5 min b) 9 km y 6 km respectivamente.<br />
7) Dos autos animados <strong>de</strong> M.R.U. están a las 8 hs. separados por una distancia AB <strong>de</strong> 60 km. Si el<br />
móvil 1 pasa por el punto A con una velocidad <strong>de</strong> 75 km/h y el móvil 2 por el punto B con una<br />
velocidad <strong>de</strong> 45 km/h, calcular:<br />
a) El instante <strong>de</strong> encuentro;<br />
b) El tiempo que transcurrió hasta ese encuentro;<br />
c) A qué distancia <strong>de</strong> A se produjo el mismo.<br />
Si el enunciado es ambiguo, resuelva todos los casos posibles reformulando el mismo para cada<br />
caso e interprete los resultados.<br />
8) Un auto pasa por un punto A animado <strong>de</strong> un M.R.U. con una velocidad <strong>de</strong> módulo igual a 50 km/h.<br />
Dos horas más tar<strong>de</strong> y en el mismo sentido pasa un segundo móvil, también con velocidad<br />
constante <strong>de</strong> módulo igual a 75 km/h. Calcular en qué instante, a partir <strong>de</strong>l momento en que el<br />
primer móvil pasa por A y a qué distancia <strong>de</strong> este punto, se encuentran. Elija otro sistema <strong>de</strong><br />
referencia y resuelva el mismo problema.<br />
Rta.: t=6 h; x=300 km<br />
9) Si en el problema anterior el primer móvil hubiese tenido una velocidad <strong>de</strong> módulo igual a 80 km/h,<br />
¿qué resultado obtendría? Interprete el mismo.<br />
Rta.: No se encuentran o lo hicieron antes <strong>de</strong> pasar por A. (-30 h)<br />
10) Las estaciones A y B se encuentran separadas 300 km. A las 4 hs. 40 min un tren parte <strong>de</strong> A<br />
viajando con v=60 km/h constante. En otro momento, otro tren parte <strong>de</strong>s<strong>de</strong> B en igual dirección y<br />
sentido que el primer tren, pero viajando a 20 km/h. Sabiendo que cuando son las 12 horas se<br />
encuentran, <strong>de</strong>terminar analítica y gráficamente a qué hora salió el segundo tren y dón<strong>de</strong> se<br />
encontraron.<br />
Rta: 5 h ; 440 km <strong>de</strong> A<br />
11) Un ciclista recorre la mitad <strong>de</strong> su camino a 30 km/h, y la otra mitad a 20 km/h, con velocidad<br />
constante en cada etapa. Despreciando el tiempo empleado en variar la velocidad, hallar la<br />
velocidad media con que hizo el viaje.<br />
Rta: 24 km/h<br />
12) A las seis <strong>de</strong> la tar<strong>de</strong>, un día <strong>de</strong> semana, el subterráneo <strong>de</strong> la Línea A parte <strong>de</strong>s<strong>de</strong> Plaza <strong>de</strong> Mayo.<br />
Como <strong>de</strong> costumbre, realiza su trayecto con todos sus asientos ocupados. En uno <strong>de</strong> sus vagones,<br />
por suerte, únicamente viajan <strong>de</strong> pie (<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el comienzo <strong>de</strong>l viaje) un hombre <strong>de</strong> unos 32 años y<br />
una señora mayor <strong>de</strong> unos 70 años.<br />
Justo a las 6:15, en la estación Loria, <strong>de</strong>scien<strong>de</strong> una señorita que estaba sentada en un asiento <strong>de</strong>l<br />
extremo <strong>de</strong>l vagón a 12 metros <strong>de</strong>l hombre y a 20 metros <strong>de</strong> la señora. Ambos <strong>de</strong>ci<strong>de</strong>n tratar <strong>de</strong><br />
conseguir el asiento. Si el hombre camina a una velocidad constante <strong>de</strong> 1 m/s y la señora, en su<br />
afán <strong>de</strong> sentarse, trota constantemente a 2 m/s:<br />
a) ¿En qué momento y a qué distancia <strong>de</strong>l preciado asiento van a encontrarse?<br />
b) ¿Quién logrará sentarse?<br />
c) ¿Des<strong>de</strong> qué distancia al asiento, el que se quedó <strong>de</strong> pie va a mirar como se sientan en su<br />
merecido lugar?<br />
Si el subte viaja a una velocidad constante <strong>de</strong> 1 km/minuto y la estación en la que <strong>de</strong>scien<strong>de</strong> el<br />
señor está a 200 cuadras <strong>de</strong> Plaza <strong>de</strong> Mayo:<br />
d) ¿Cuánto tiempo tuvo que estar parado <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l subte, luego <strong>de</strong> un día entero <strong>de</strong> trabajo?<br />
e) ¿A qué hora, finalmente, logra salir <strong>de</strong>l subte?<br />
Este problema fue sugerido por los alumnos Eduardo Bordoy <strong>de</strong>l Olmo, Juan Díaz Oliveros, Sasha<br />
Diesel y Santiago Galián, 3º 2ª 2009.<br />
28
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO<br />
(MRUV)<br />
1) Grafique posibles funciones v(t) para los siguientes movimientos:<br />
a) MRU; b) MRUV; c) MRV. Justifique.<br />
2) El manual <strong>de</strong>l auto Renault Clio (motor 1.6L) informa que éste pue<strong>de</strong> pasar <strong>de</strong> 0 a 100 km/h en 9.6<br />
s; el Fiat 600E (el “fitito”) pasa <strong>de</strong> 0 a 100 Km/h en 35,5 s. Calcular las aceleraciones que pue<strong>de</strong>n<br />
<strong>de</strong>sarrollar estos dos automóviles y comparar con la aceleración <strong>de</strong> la gravedad.<br />
Sabiendo que una Ferrari pue<strong>de</strong> alcanzar una aceleración <strong>de</strong> aproximadamente la mitad <strong>de</strong> la<br />
aceleración <strong>de</strong> la gravedad hallar cuánto tiempo tardaría en llegar <strong>de</strong>l reposo a una velocidad <strong>de</strong><br />
100 Km/h.<br />
Rta: a Clio =2,9 m/s²; a fiat 600= 0,78 m/s²; ∆t Ferrari =5,6s (los valores fueron aproximados)<br />
3) Supongamos que tenemos dos móviles cuyo movimiento podría aproximarse por las siguientes<br />
ecuaciones horarias: v 1 (t) = 2 m/s + 1 m/s 2 .t ; v 2 (t) = 2 m/s - 1 m/s 2 .t<br />
a) Graficarlas.<br />
b) Analizar los movimientos.<br />
c) Suponiendo en ambos casos que xo=0, escribir y graficar ambas ecuaciones horarias.<br />
4) Dado el siguiente gráfico, suponiendo movimiento rectilíneo y xo=0,<br />
a) escribir la ecuación horaria <strong>de</strong> la posición<br />
b) <strong>de</strong>terminar el camino recorrido y el <strong>de</strong>splazamiento entre 0 y 5 seg.<br />
c) <strong>de</strong>terminar el camino recorrido y el <strong>de</strong>splazamiento entre 0 y 10 seg, si el movimiento<br />
continuara<br />
con la misma aceleración. Justificar dibujando la trayectoria.<br />
V(m/s)<br />
15<br />
5) En la siguiente gráfica se ha<br />
representado la velocidad en<br />
función <strong>de</strong>l tiempo para un<br />
móvil que sigue una<br />
trayectoria rectilínea. Según la<br />
información <strong>de</strong> esta gráfica<br />
<strong>de</strong>terminar:<br />
5 t(s)<br />
Rta.: a) x(t) = 15 m/s .t - 1,5 m/s 2 .t 2 b)37,5 m c )75 m y 0<br />
a) el gráfico a(t);<br />
b) la distancia recorrida en cada<br />
tramo;<br />
c) la distancia recorrida entre 0<br />
y 10 seg.<br />
29<br />
Rta.: b) 7 m; 4m; 3m; 2m; 0m; 5m. c) 21 m.
6) Un avión parte <strong>de</strong>l reposo con aceleración constante, y carretea 1800m. por la pista antes <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>spegar, en 12 segundos. Con qué velocidad abandona la pista?<br />
Rta.: 300 m/s<br />
7) ¿Es posible que un cuerpo esté en reposo y su aceleración sea diferente <strong>de</strong> cero, aunque sea un<br />
instante? Justificar.<br />
8) El gráfico v = f(t) <strong>de</strong>l movimiento cuyo gráfico posición - tiempo viene expresado por:<br />
tiene la forma:<br />
a) b)<br />
c)<br />
d)<br />
v (m/s)<br />
v (m/s)<br />
v (m/s)<br />
v (m/s)<br />
t (s)<br />
t (s)<br />
Justifique la respuesta. (Ayuda: utilice como herramienta la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente al gráfico<br />
<strong>de</strong> x=f(t))<br />
Rta.: a)<br />
9) Sea un móvil cuyo movimiento respon<strong>de</strong> a la función horaria x(t) = 4 m - (3 m/s) t + (1 m/s 2 ) t 2 .<br />
a) Qué tipo <strong>de</strong> movimiento representa esa función horaria? Halle xo; vo y a.<br />
b) Grafique x(t). Señale xo. Cómo obtendría la velocidad a partir <strong>de</strong>l gráfico? ¿Qué signo tiene<br />
la velocidad para t=1s? ¿Y para t=2s?<br />
c) Escriba y grafique v(t). A partir <strong>de</strong>l gráfico, pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar si existe algún instante en que la<br />
velocidad se anule? Si la respuesta es afirmativa, <strong>de</strong>termínelo analíticamente.<br />
d) Qué pasa con el sentido <strong>de</strong>l movimiento en el instante en que v(t) corta al eje t?<br />
e) Qué pasa con la función horaria en ese tiempo? Cuál es la posición correspondiente?<br />
f) Partiendo <strong>de</strong>l gráfico v(t), <strong>de</strong>termine la aceleración. Grafique a(t). ¿Qué nombre recibe éste<br />
movimiento?<br />
10) Un tren reduce uniformemente su velocidad <strong>de</strong>s<strong>de</strong> 12 m/s hasta 8 m/s, en una distancia <strong>de</strong> 100 m.<br />
Calcular la aceleración <strong>de</strong> frenado, y la distancia que recorrerá hasta <strong>de</strong>tenerse si continúa con el<br />
mismo movimiento.<br />
Rta.: a) - 0,4 m/s 2 ; b) 180 m.<br />
11) Suponiendo un movimiento rectilíneo, representar gráficamente v = f(t) para un móvil que tenga<br />
una a = 2 m/s 2 constante.<br />
a) con vo = 0.<br />
b) con vo = 5 m/s.<br />
c) con vo = -5 m/s.<br />
d) Suponiendo que el móvil partió <strong>de</strong>l origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, graficar x (t) para cada uno <strong>de</strong> los<br />
ítems anteriores.<br />
30<br />
t (s)<br />
t (s)
12) En la Tabla 1 se presentan los resultados <strong>de</strong> una serie <strong>de</strong> mediciones <strong>de</strong>l <strong>de</strong>splazamiento,<br />
velocidad y tiempo obtenidas con un sistema similar al <strong>de</strong>scripto en el trabajo práctico <strong>de</strong><br />
cinemática.<br />
∆x (cm) ε∆x (cm) t (s) εt (s) V (cm/s) εV (cm/s)<br />
1,5 0,2 0,20 0,02 10,2 0,1<br />
3,5 0,2 0,35 0,02 15,4 0,1<br />
6,5 0,2 0,52 0,02 20,5 0,1<br />
10,0 0,2 0,68 0,02 25,0 0,1<br />
14,0 0,2 0,81 0,02 29,8 0,1<br />
Tabla 1: Mediciones <strong>de</strong> distancia recorrida y velocidad para distintos instantes <strong>de</strong> tiempo.<br />
a) Graficar ∆x=f(t). ¿Es posible aproximar los datos por una función lineal? Justificar.<br />
b) Graficar v=f(t). ¿Es posible en este caso? ¿Se pue<strong>de</strong> hablar <strong>de</strong> proporcionalidad directa?<br />
Explicar.<br />
c) Analizar los gráficos y extraer conclusiones acerca <strong>de</strong>l movimiento. Si fuera posible, escribir<br />
funciones horarias que permitan pre<strong>de</strong>cir el <strong>de</strong>splazamiento y la velocidad <strong>de</strong>l carrito para otros<br />
tiempos distintos <strong>de</strong> los que se han medido.<br />
13) Represente cualitativamente gráficas <strong>de</strong> x= f(t); v(t); a(t) para un MRUV en los siguientes casos:<br />
a) xo > 0 b) xo = 0<br />
vo < 0 vo > 0<br />
a > 0 a < 0<br />
Analizar en cada caso el signo y la evolución <strong>de</strong>l valor <strong>de</strong> la pendiente <strong>de</strong> la recta tangente al gráfico<br />
<strong>de</strong> x(t) a medida que transcurre el tiempo.<br />
Justificar en cada caso cómo sería la trayectoria <strong>de</strong>l móvil.<br />
14) De acuerdo con lo observado en el gráfico,<br />
contestar:<br />
a) Qué tipo <strong>de</strong> movimiento realizan (A) y (B)? Escriba<br />
las ecuaciones x(t) correspondientes consi<strong>de</strong>rando que<br />
en t=0 ambos móviles se hallaban en el origen <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas.<br />
b) Cuánto tarda (A) en alcanzar a (B)? ¿Cuál es la<br />
coor<strong>de</strong>nada <strong>de</strong> encuentro?<br />
c) Calcule las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> posición <strong>de</strong> ambos<br />
móviles en el instante en que sus velocida<strong>de</strong>s se<br />
igualan.<br />
Rta.: a) x A (t) = 30 m/s.t; x B(t) = -10 m/s.t + 1m/s 2 .t 2 ; b) t = 40 seg; x = 1200 m.<br />
c) x A = 600 m; x B = 200 m.<br />
15) Dos móviles parten con v 0 =0 , el uno hacia el otro, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> los extremos <strong>de</strong> un segmento <strong>de</strong> 5 m. <strong>de</strong><br />
longitud. Ambos llevan MRUA (acelerado), siendo los valores absolutos <strong>de</strong> las aceleraciones a 1 =<br />
20 cm/s 2 y a 2 = 30 cm/s 2 , respectivamente. Averiguar gráfica y analíticamente en qué instante se<br />
produce el encuentro y a qué distancia <strong>de</strong> los extremos.<br />
Rta.: 4,47 s; 2 m y 3 m respectivamente.<br />
31
OTROS PROBLEMAS...<br />
16) Dos móviles parten simultáneamente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el origen <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas, con v 0 =0 , ambos con<br />
MRUV y en la misma dirección. A los 5 seg. <strong>de</strong> la partida, la distancia entre ambos es <strong>de</strong> 50m.<br />
Calcular la aceleración <strong>de</strong>l 2° móvil, sabiendo que la <strong>de</strong>l otro es <strong>de</strong> 3 m/s 2 .<br />
Interpretar los resultados. Sería útil graficar ambas x(t).<br />
Rta.: 7 m/s 2 o -1 m/s 2<br />
17) Dos móviles parten simultáneamente y en el mismo sentido <strong>de</strong>s<strong>de</strong> extremos A y B <strong>de</strong> un<br />
segmento AB = 15 m. El que parte <strong>de</strong> A, lo hace con velocidad inicial <strong>de</strong> 50 cm/s y una aceleración<br />
<strong>de</strong> 35 cm/s 2 . El que sale <strong>de</strong> B lo hace con vo = 75 cm/s y a = -20 cm/s 2 .<br />
¿En qué instante y a qué distancia <strong>de</strong> A, el primero alcanza al segundo?<br />
Rta.: 7,85 s; 1472 cm<br />
18) El conductor <strong>de</strong> un tren subterráneo <strong>de</strong> 40m. <strong>de</strong> longitud, y que marcha a 15 m/s, <strong>de</strong>be aplicar los<br />
frenos 50m. antes <strong>de</strong> entrar a una estación cuyo andén mi<strong>de</strong> 100m. <strong>de</strong> longitud.<br />
Calcular entre qué valores <strong>de</strong>be hallarse el <strong>de</strong> la aceleración <strong>de</strong> frenado para que el tren se <strong>de</strong>tenga<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> los límites <strong>de</strong>l andén.<br />
Rta.: ⏐ -0,75 m/s 2 ⏐ ≤ a ≤ ⏐ -1,25 m/s 2 ⏐<br />
32
TIRO Y CAÍDA VERTICALES EN EL VACÍO<br />
En todos los problemas que siguen dibujar el eje <strong>de</strong> referencia elegido e indicar signos <strong>de</strong> v, g, etc.<br />
Plantear las ecuaciones generales. Los resultados se dan en valor absoluto, ya que los signos<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> referencia elegido. (Sus valores están aproximados).<br />
1) Un cuerpo se <strong>de</strong>ja caer <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una torre <strong>de</strong> 490 m <strong>de</strong> altura. Suponiendo <strong>de</strong>spreciable<br />
el rozamiento con el aire, hallar el tiempo que tarda en llegar al suelo y con qué<br />
velocidad lo hace.<br />
Rta: 9,9 s; 99 m/s.<br />
2) Un cuerpo cae libremente en el vacío partiendo <strong>de</strong>l reposo. Determinar:<br />
a) su aceleración.<br />
b) el tiempo que tardará en alcanzar una velocidad <strong>de</strong> 30 m/s.<br />
c) la distancia recorrida en ese tiempo.<br />
d) su velocidad luego <strong>de</strong> recorrer 5 m.<br />
e) cuánto tiempo requiere para <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>r 500 m.<br />
Rta: a) a = g = 10 m/s 2 ; b) 3 s; c) 45 m; d) 10 m/s; e) 10 s.<br />
3) Un estudiante <strong>de</strong>l <strong>CNBA</strong> se propone estudiar experimentalmente el movimiento <strong>de</strong><br />
caída <strong>de</strong> un cuerpo en el aire. Para ello diseña un experimento que consiste en <strong>de</strong>jar<br />
caer una bolita metálica <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cierta altura y fotografiar el movimiento <strong>de</strong> la misma<br />
usando una cámara con disparos múltiples a intervalos <strong>de</strong> 1/30 segundos. En la Figura 1<br />
se muestra la imagen obtenida.<br />
a) Consi<strong>de</strong>rando que la cinta métrica está graduada en milímetros y que entre dos<br />
fotografías consecutivas transcurre un tiempo <strong>de</strong> 1/30 s = 0.033 s construyan una tabla<br />
con los valores <strong>de</strong> la posición y el tiempo. No olvi<strong>de</strong>n asignar una incerteza a cada una<br />
<strong>de</strong> las variables. ¿Qué criterios emplearon para <strong>de</strong>terminar esas incertezas? Discutan.<br />
b) Representen x=f(t) <strong>de</strong> acuerdo con los datos <strong>de</strong> la Tabla. Analicen el gráfico.<br />
¿Pue<strong>de</strong>n concluir algo acerca <strong>de</strong> la relación entre la posición y el tiempo para este<br />
movimiento? Justifiquen.<br />
c) Representen x=f(t 2 ) (recuer<strong>de</strong>n que <strong>de</strong>ben propagar la incerteza <strong>de</strong> t). Analicen el<br />
gráfico. ¿Qué pue<strong>de</strong>n concluir acerca <strong>de</strong> la relación entre la posición y el cuadrado <strong>de</strong>l<br />
tiempo? Expliquen. Justifiquen apelando a las ecuaciones horarias <strong>de</strong>l MRUV.<br />
d) Si fuera posible, obtengan el valor <strong>de</strong> la aceleración <strong>de</strong> la gravedad y su incerteza<br />
absoluta. Comparen con el valor conocido <strong>de</strong> g.<br />
Fig.<br />
Problema 3<br />
e) Un estudiante afirma que a partir <strong>de</strong> los datos <strong>de</strong> la Tabla construida en el ítem a)<br />
pue<strong>de</strong> estimarse la velocidad que la bolita tiene en cada una <strong>de</strong> sus posiciones. Para<br />
ello propone, calcular la velocidad media consi<strong>de</strong>rando el <strong>de</strong>splazamiento efectuado<br />
entre la posición inmediata anterior y la inmediata posterior a la posición <strong>de</strong> referencia.<br />
Por ejemplo, según este estudiante, la velocidad <strong>de</strong> la bolita en la posición 4 (x 4 ) sería<br />
aproximadamente igual a la velocidad media en el <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong> la bolita entre las<br />
posiciones 3 y 5.<br />
x5<br />
− x3<br />
v(<br />
x4 ) =<br />
t5<br />
− t3<br />
¿Será a<strong>de</strong>cuada esta aproximación? Justifiquen.<br />
33
f) Comparen estos resultados con los resultados obtenidos por uste<strong>de</strong>s en el TP N°1, don<strong>de</strong> se realizó<br />
un experimento similar a éste, sólo que la bola metálica caía <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un tubo con glicerina. ¿Se<br />
trata <strong>de</strong>l mismo tipo <strong>de</strong> movimiento? ¿Por qué? Analicen características <strong>de</strong> ambos fluidos. ¿Qué<br />
suce<strong>de</strong>ría si en lugar <strong>de</strong> usar una bola metálica se usara, en el aire, otro objeto como una pluma o<br />
una hoja <strong>de</strong> papel. Expliquen.<br />
4) En el siguiente gráfico se presentan los resultados <strong>de</strong> un experimento <strong>de</strong> caída libre llevado a cabo<br />
con una esferita que cae <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> un tubo <strong>de</strong> Newton (se extrae el aire <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong>l tubo para<br />
minimizar la influencia <strong>de</strong>l rozamiento).<br />
a) Discutir por qué se habrá optado<br />
por graficar x=f(t 2 ) en lugar <strong>de</strong><br />
x=f(t). ¿Es útil este gráfico? ¿Se<br />
<strong>de</strong>be cumplir alguna condición<br />
para que este gráfico resulte <strong>de</strong><br />
utilidad? (Ayuda: analizar la<br />
ecuación horaria x(t) para el<br />
MRUV).<br />
b) Hallar g y expresar correctamente<br />
el resultado.<br />
c) El valor g=( 9,82 ± 0,25 ) m/s 2<br />
para la aceleración <strong>de</strong> la gravedad<br />
fue medido por otro método.<br />
¿Coinci<strong>de</strong>n ambos resultados?<br />
Justificar.<br />
5) Con qué velocidad inicial <strong>de</strong>be lanzarse hacia arriba una piedra para que llegue hasta una altura<br />
máxima <strong>de</strong> 5 m. Graficar, una <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la otra, las funciones x(t), v(t) y a(t).<br />
Rta: 10 m/s<br />
6) Se dispara un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial <strong>de</strong> 30 m/s. Se pi<strong>de</strong>:<br />
a) Plantear las ecuaciones <strong>de</strong>l movimiento.<br />
b) Calcular su posición y velocidad al cabo <strong>de</strong> 2 s, 4 s y 8 s <strong>de</strong> su lanzamiento. Interpretar.<br />
c) Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto <strong>de</strong> partida.<br />
d) Determinar el instante para el que la altura es máxima, y el valor <strong>de</strong> dicha altura.<br />
e) En qué instante se encuentra a 25 m <strong>de</strong> altura?<br />
Rta: a) h(t)=30m/s.t - 5m/s 2 .t 2 ; v(t)=30m/s - 10m/s 2 .t<br />
b) 40m y 10m/s; 40m y -10m/s; -80m y -50m/s ; c) t = 6 s.; d) 3 s; 45 m. ; e) 1 s; 5 s.<br />
7) Un globo con gas ascien<strong>de</strong> con velocidad constante <strong>de</strong> 10 m/s. Cuando se encuentra a 15 m.<strong>de</strong>l<br />
piso, un muchacho le dispara una piedra con una gomera, que parte verticalmente a 30 m/s.<br />
a) Cuánto tiempo <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> partir la piedra alcanzará al globo?<br />
b) A qué altura <strong>de</strong>l piso alcanzará la piedra el globo?<br />
c) Cuál será la velocidad <strong>de</strong> la piedra (respecto <strong>de</strong> tierra) en ese instante? Interpretar.<br />
Rta: a) 1 s, b) 25 m, c) 20 m/s.<br />
8) Los puntos A y B están en la misma vertical, pero A está 512 m más arriba. Des<strong>de</strong> A se <strong>de</strong>ja caer<br />
una bola y 4,3 s más tar<strong>de</strong>, se <strong>de</strong>ja caer otra <strong>de</strong>s<strong>de</strong> B. Sabiendo que ambas llegan al suelo<br />
simultáneamente, averiguar:<br />
a) A qué altura está B?<br />
b) Cuánto duró la caída <strong>de</strong>s<strong>de</strong> A? Rta: 476 m; 14,06 s.<br />
34
OTROS PROBLEMAS...<br />
9) Un cuerpo cae <strong>de</strong>s<strong>de</strong> cierta altura. En el punto A <strong>de</strong> su trayectoria tiene una velocidad <strong>de</strong> 30 m/s, y<br />
en el punto B, 79 m/s. ¿Cuánto tardó en recorrer la distancia AB y cuál es esta distancia?<br />
Rta: 4,9 s; 267 m.<br />
10) Dos cuerpos están situados en una misma vertical. El <strong>de</strong> arriba se <strong>de</strong>ja caer en el mismo instante<br />
en que el <strong>de</strong> abajo es lanzado hacia arriba con una velocidad <strong>de</strong> 80 m/s. ¿Qué separación vertical<br />
<strong>de</strong>be haber inicialmente entre los móviles para que ambos se encuentren justamente don<strong>de</strong> el <strong>de</strong><br />
abajo alcanza su altura máxima? Graficar x(t) para ambos movimientos en un mismo par <strong>de</strong> ejes.<br />
Rta: 640 m<br />
11) Se <strong>de</strong>ja caer una pelota que está en reposo, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la cornisa <strong>de</strong> un edificio. Más abajo hay una<br />
ventana <strong>de</strong> 2m <strong>de</strong> alto, y la pelota emplea 0,2s en pasar frente a ella. Con esta información,<br />
<strong>de</strong>terminar a qué distancia por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la cornisa está el marco superior (dintel) <strong>de</strong> la ventana.<br />
Rta: 4,05 m.<br />
35
TIRO OBLICUO EN EL VACÍO<br />
m<br />
Indicar, en cada caso, el sistema <strong>de</strong> referencia elegido. (Usar g =10<br />
2 )<br />
s<br />
1) Un jugador patea una pelota <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el suelo con una v 0 = 10m/s, formando un ángulo <strong>de</strong> 53° con el<br />
piso horizontal. Se <strong>de</strong>sprecia el efecto <strong>de</strong>l rozamiento con el aire.<br />
a) Dibujar la trayectoria <strong>de</strong> la pelota en el plano xy; dibujar el vector aceleración para este<br />
problema y dibujar sobre varios puntos <strong>de</strong> la trayectoria (por ej en 5 puntos) el vector velocidad<br />
correspondiente al movimiento <strong>de</strong> la pelota, <strong>de</strong>scomponiéndolo en las direcciones <strong>de</strong> los ejes x e y.<br />
b) Justificar cómo podría estudiarse este movimiento y escribir las ecuaciones para el mismo.<br />
c) Calcular el “tiempo <strong>de</strong> culminación” t c , es <strong>de</strong>cir el tiempo que tarda la pelota en llegar a su<br />
máxima altura. Calcular la hmáxima que alcanza la pelota.<br />
d) Averiguar en qué posición caerá la pelota cuando llegue al suelo (el Xmáximo se llama alcance<br />
<strong>de</strong> la pelota)<br />
e) El valor <strong>de</strong> la velocidad cuando llega al suelo<br />
Rta: c) tc = 0,8 s hmáxima = 3,19 m d) xalcance = 9,63 m e) 10 m/s<br />
2) Se dispara un proyectil <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una altura <strong>de</strong> 10m sobre el piso, con una velocidad inicial <strong>de</strong> 28,3<br />
m/s, formando un ángulo <strong>de</strong> 45° hacia arriba, con la horizontal. Se <strong>de</strong>sprecia el rozamiento con el<br />
aire.<br />
a) Sobre la trayectoria <strong>de</strong>l proyectil dibujar el vector velocidad en distintos puntos.<br />
Plantear las ecuaciones <strong>de</strong>l movimiento.<br />
b) Calcular la máxima altura alcanzada por el proyectil.<br />
c) Calcular tiempo total <strong>de</strong> vuelo.<br />
d) Averiguar el alcance.<br />
Rta: b) hmáxima = 30 m c) ttotal = 4,45 s d) xalcance = 89,05 m<br />
3) Des<strong>de</strong> una terraza a 45m <strong>de</strong> altura sobre el pavimento se lanza horizontalmente una pelota. La<br />
pelota toca el pavimento a 30 m <strong>de</strong>l edificio. Consi<strong>de</strong>rar <strong>de</strong>spreciable el rozamiento con el aire.<br />
a) Sobre la trayectoria <strong>de</strong>l proyectil dibujar el vector velocidad en distintos puntos.<br />
Plantear las ecuaciones <strong>de</strong>l movimiento.<br />
b) Calcular con qué velocidad inicial se lanzó la pelota.<br />
Rta: b) 10 m/s<br />
36
DINÁMICA<br />
Usar g = 10 m/s 2<br />
1) Durante un tiempo la suma <strong>de</strong> las fuerzas que actúan sobre un objeto puntual es nula. Indique cuál<br />
<strong>de</strong> las siguientes afirmaciones es verda<strong>de</strong>ra.<br />
a) La velocidad es constante solamente en módulo.<br />
b) La velocidad es constante en módulo dirección y sentido.<br />
c) La velocidad es constante solamente en dirección y sentido.<br />
d) La aceleración es constante en módulo dirección y sentido.<br />
e) Falta información para <strong>de</strong>cidir.<br />
2) Una pelota es lanzada <strong>de</strong> forma tal que <strong>de</strong>scribe una trayectoria como indica la figura. Indique cuál<br />
<strong>de</strong> las siguientes afirmaciones es verda<strong>de</strong>ra.<br />
a) En la posición I la pelota va más rápido que en la II.<br />
b) En la posición I actúa sobre la pelota una fuerza contraria a la<br />
fuerza <strong>de</strong> interacción gravitatoria.<br />
c) No actúa otra fuerza que la <strong>de</strong> interacción gravitatoria sobre la<br />
pelota en todo su movimiento.<br />
d) En la posición II la pelota va más rápido que en la I.<br />
e) Ninguna <strong>de</strong> las afirmaciones anteriores es verda<strong>de</strong>ra.<br />
3) Sobre una partícula animada <strong>de</strong> MRU están aplicadas fuerzas constantes <strong>de</strong> diferentes módulos. El<br />
número mínimo <strong>de</strong> fuerzas que pue<strong>de</strong>n estar actuando es:<br />
a) Una.<br />
b) Dos.<br />
c) Tres.<br />
d) Cuatro.<br />
e) Falta información para <strong>de</strong>cidir.<br />
4) Dos cuerpos Ay B son tales que la masa <strong>de</strong>l primero es mayor que la <strong>de</strong>l segundo. Ambos cuerpos<br />
se encuentran apoyados uno al lado <strong>de</strong>l otro en contacto mutuo sobre una superficie <strong>de</strong> roce<br />
<strong>de</strong>spreciable. Sobre el cuerpo A se aplica una fuerza horizontal F, adquiriendo el sistema una<br />
cierta aceleración. Se repite luego la misma experiencia pero aplicando la misma fuerza horizontal<br />
sobre el cuerpo B.<br />
A partir <strong>de</strong>l principio <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>cidir cómo <strong>de</strong>ben ser los valores <strong>de</strong> aceleración y fuerza <strong>de</strong><br />
contacto correspondientes a cada caso.<br />
5) ¿Cuál es la fuerza neta sobre un pasajero <strong>de</strong> 60 kg r que está sentado en un asiento <strong>de</strong> un automóvil<br />
que acelera a razón <strong>de</strong> 8 m/s 2 ?<br />
Rta: 480 N<br />
6) Esquematice los pares <strong>de</strong> interacción en los siguientes casos: a) Fuerzas involucradas al caminar,<br />
b) Fuerzas involucradas en una valija cuando es sostenida por la mano <strong>de</strong> una persona.<br />
7) Un hombre <strong>de</strong> 80 kg <strong>de</strong> masa está parado sobre patines. En un instante dado ejerce una fuerza<br />
horizontal <strong>de</strong> 250 N sobre una vagoneta <strong>de</strong> ferrocarril <strong>de</strong> media tonelada. Suponiendo que se<br />
<strong>de</strong>sprecian las fuerzas <strong>de</strong> rozamiento indicar:<br />
37
a) La fuerza horizontal que actúa sobre el hombre.<br />
b) La aceleración que adquiere la vagoneta en ese instante.<br />
c) La aceleración que adquiere el hombre en ese instante.<br />
d) El movimiento que tienen el hombre y la vagoneta <strong>de</strong>spués que pier<strong>de</strong>n el contacto.<br />
Rta: a) 250 N; b) 0,5 m/s 2 ; c) 3,125 m/s 2 ; d) M.R.U<br />
8) Un ascensor <strong>de</strong> 1000 kg lleva una persona a<strong>de</strong>ntro, <strong>de</strong> 80 kg.<br />
a) ¿Qué fuerza se necesita para que el sistema suba con un M.R.U.A tal que el valor <strong>de</strong> la<br />
aceleración sea <strong>de</strong> 0,2 m/s 2 ?<br />
b) ¿Qué fuerza se necesita para que el sistema baje con un M.R.U.A tal que el valor <strong>de</strong> la<br />
aceleración sea <strong>de</strong> 0,2 m/s 2 ?<br />
c) ¿Cuál será en cada caso la interacción entre la persona y el ascensor?<br />
Rta: a) 11016 N; b) 10584 N; c) 816 N; 784 N<br />
9) Decidir la veracidad o falsedad <strong>de</strong> las siguientes afirmaciones:<br />
a) Una bolsa que pesa 50 kg r en la Tierra, tendrá una masa <strong>de</strong> 50 kg en todas partes.<br />
b) Si a un cuerpo se le aplica una fuerza <strong>de</strong> 1 kg r , entonces adquiere una aceleración <strong>de</strong> 1 m/s 2 .<br />
c) Si un cuerpo tiene aplicada una fuerza hacia abajo sólo pue<strong>de</strong> moverse hacia abajo.<br />
d) El peso y la normal son pares <strong>de</strong> interacción.<br />
e) Si se <strong>de</strong>jan caer verticalmente dos bolsas <strong>de</strong> distinta masa unidas por una cuerda, una arriba <strong>de</strong> la<br />
otra, con la <strong>de</strong> mayor masa <strong>de</strong>bajo, entonces la tensión <strong>de</strong> la cuerda será mayor que si la <strong>de</strong> menor<br />
masa estuviese <strong>de</strong>bajo.<br />
f) Según cómo proceda una persona pue<strong>de</strong> suce<strong>de</strong>r que al elevar a un estante un libro <strong>de</strong> 1 kg<br />
realice una fuerza menor a 1 kg r .<br />
10) Un joven lleva a su hermano menor en un cajón, como indica la figura. El conjunto pesa 640 N y<br />
el joven realiza una fuerza <strong>de</strong> 100 N.<br />
a) Realice un diagrama <strong>de</strong> cuerpo libre.<br />
b) ¿Qué fuerza está realizando el suelo sobre el cajón?<br />
c) ¿Cuánto habrán recorrido <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> 30 s <strong>de</strong> haber iniciado el movimiento?<br />
d) ¿Qué velocidad tendrán en ese instante?<br />
F<br />
37°<br />
Rta: b) 580 N; c) 562,5 m; d) 37,5 m/s<br />
11) Un cuerpo <strong>de</strong> 2 kg <strong>de</strong> masa está apoyado en un plano inclinado <strong>de</strong> 53 grados. Se aplica sobre él<br />
una fuerza <strong>de</strong> 20,5 N <strong>de</strong> intensidad y cuya dirección es paralela a la superficie <strong>de</strong>l plano inclinado,<br />
<strong>de</strong> manera que ascien<strong>de</strong>. Sabiendo que la fuerza <strong>de</strong> rozamiento entre el cuerpo y el plano es <strong>de</strong> 0,5<br />
N, <strong>de</strong>terminar:<br />
a) La aceleración.<br />
b) La fuerza <strong>de</strong> vínculo entre el cuerpo y el plano.<br />
Rta: a) 2 m/s 2 ;b) 12 N<br />
12) A partir <strong>de</strong> los resultados experimentales obtenidos en el TP <strong>de</strong> Cinemática resolver las siguientes<br />
cuestiones:<br />
a) Realizar un análisis dinámico <strong>de</strong>l sistema que fue estudiado: confeccionar el diagrama <strong>de</strong> cuerpo<br />
libre y escribir las ecuaciones <strong>de</strong> Newton correspondientes.<br />
b) Consi<strong>de</strong>rando <strong>de</strong>spreciable la fuerza <strong>de</strong> rozamiento, obtener un valor para la aceleración <strong>de</strong> la<br />
gravedad a partir <strong>de</strong> los datos experimentales.<br />
38
c) El valor obtenido, ¿coinci<strong>de</strong> con el valor conocido? En caso <strong>de</strong> que esto no ocurra pensar a qué<br />
causas pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>berse la discrepancia.<br />
d) Consi<strong>de</strong>rar ahora que el rozamiento es apreciable. Utilizando el valor conocido <strong>de</strong> g obtener el<br />
valor <strong>de</strong> la fuerza <strong>de</strong> rozamiento. Justificar si era acertado <strong>de</strong>spreciar la fuerza <strong>de</strong> rozamiento. (La<br />
masa <strong>de</strong>l carrito era <strong>de</strong> aproximadamente 500 gramos).<br />
13) Se tira <strong>de</strong> tres bloques ( m 1 = 1 kg, m 2 =2 kg, m 3 = 3 kg) a lo largo <strong>de</strong> una superficie, sin fricción,<br />
por una fuerza horizontal <strong>de</strong> 18 N, a) ¿cuál es la aceleración <strong>de</strong>l sistema?<br />
b) ¿cuáles son las fuerzas <strong>de</strong> tensión en las cuerdas, consi<strong>de</strong>radas éstas como cuerdas <strong>de</strong> masa<br />
<strong>de</strong>spreciable?<br />
Rta: a)3m/s 2 , b) T1= 3N; T2= 9N<br />
14) Se tira <strong>de</strong> un bloque apoyado sobre una superficie horizontal mediante una soga. Utilizando un<br />
dinamómetro se mi<strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> la soga y con un sistema similar al utilizado en el TP <strong>de</strong><br />
Cinemática se mi<strong>de</strong>, en cada caso, la aceleración <strong>de</strong>l bloque. En la Tabla 1 se presentan los<br />
resultados obtenidos. Se pi<strong>de</strong>:<br />
a) Realizar un diagrama <strong>de</strong> cuerpo libre para el bloque y escribir las ecuaciones <strong>de</strong> Newton<br />
correspondientes.<br />
b) Graficar los datos experimentales. Interpretar los resultados <strong>de</strong> acuerdo con las ecuaciones <strong>de</strong><br />
Newton planteadas en a).<br />
c) ¿Qué información pue<strong>de</strong> obtenerse, acerca <strong>de</strong>l sistema bajo estudio, a partir <strong>de</strong>l gráfico?<br />
d) Se observa experimentalmente que para valores <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> la soga menores a 30 N el<br />
bloque permanece en reposo. ¿Qué información relacionada con el sistema nos permite<br />
obtener ese dato?<br />
T r (N)<br />
ε T r<br />
(N) a (m/s 2 ) ε a (m/s 2 )<br />
36,0 0,5 0,22 0,02<br />
42,5 0,5 0,36 0,02<br />
52,0 0,5 0,52 0,02<br />
56,5 0,5 0,60 0,02<br />
64,0 0,5 0,72 0,02<br />
36,0 0,5 0,22 0,02<br />
Tabla 1: Aceleración adquirida por el bloque para cada valor <strong>de</strong> la tensión <strong>de</strong> la soga.<br />
15)<br />
1<br />
P1=40 kg<br />
2<br />
a) En 2 se colocan pesas <strong>de</strong> 15 kg r , 20 kg r , 23 kg r y el cuerpo<br />
1 no se mueve. Dibujar las fuerzas actuantes sobre el<br />
cuerpo 1. ¿Cuánto valen las respectivas fuerzas estáticas<br />
<strong>de</strong> rozamiento?<br />
b) Sabiendo que justo con 24 kg r en 2 el cuerpo 1 comienza<br />
a moverse, <strong>de</strong>termine el coeficiente estático <strong>de</strong><br />
rozamiento.<br />
Rta: a) 15 , 20 y 23 kg r ; b) µ re = 0,6<br />
OTROS PROBLEMAS...<br />
16) Tres bloques con masas <strong>de</strong> 1 kg, 2 kg y 3 kg están apilados sobre una mesa, el <strong>de</strong> menor masa<br />
arriba y el <strong>de</strong> mayor, abajo. Haga un diagrama y analice este sistema en términos <strong>de</strong> pares <strong>de</strong><br />
fuerzas <strong>de</strong> la tercera ley <strong>de</strong> Newton.<br />
39
17) Una persona <strong>de</strong> 70 kg se para en una balanza en un ascensor. ¿Qué peso se lee en la balanza<br />
cuando está:<br />
a) en reposo el ascensor, b) moviéndose el ascensor con aceleración hacia arriba <strong>de</strong> 0,525 m/s 2 , c)<br />
moviéndose el ascensor con una aceleración hacia abajo <strong>de</strong> 0,525 m/s 2 .<br />
Rta: a)700N; b)736,75N; c)663,25N<br />
18) De una cuerda que pasa por una polea cuelgan dos masas, una <strong>de</strong> 7 kg y otra <strong>de</strong> 9 kg. Suponiendo<br />
que no hay rozamiento, calcular la aceleración y la tensión en la cuerda.<br />
Rta.: a = 1,25 m/s 2 , T=78,75 N<br />
19) Calcular la mínima aceleración con la que un hombre <strong>de</strong> 90 kg pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>slizar hacia abajo por una<br />
cuerda que sólo pue<strong>de</strong> soportar una carga <strong>de</strong> 750 N.<br />
Rta.: 1,67 m/s 2<br />
20) Al mover un escritorio <strong>de</strong> 35 kg <strong>de</strong> un lado al otro <strong>de</strong> un salón, una persona encuentra que se<br />
necesita una fuerza horizontal <strong>de</strong> 275N para poner al escritorio en movimiento y una fuerza <strong>de</strong><br />
195N para conservarlo en movimiento con velocidad constante. ¿Cuáles son los coeficientes <strong>de</strong> a)<br />
rozamiento estático, b) rozamiento cinético entre el escritorio y el piso.<br />
Rta: a)0,786; b)0,557<br />
21) Se <strong>de</strong>ja en libertad un cuerpo <strong>de</strong> m = 100 kg <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo alto <strong>de</strong> un camión <strong>de</strong> mudanzas por un<br />
plano inclinado <strong>de</strong> 30 grados. Si el tablón que forma el plano mi<strong>de</strong> 3 m calcular, previo diagrama<br />
<strong>de</strong> cuerpo libre:<br />
a) La velocidad que tiene el cuerpo cuando llega al suelo si no hay rozamiento.<br />
b) Í<strong>de</strong>m pero consi<strong>de</strong>rando un µ d = 0,1.<br />
c) La fuerza que se <strong>de</strong>bería ejercer en a) para lograr que baje con velocidad constante.<br />
Rta: a) 5,48 m/s; b) 4,98 m/s; c) 500 N<br />
22) Una fuerza normal Fn empuja al bloque <strong>de</strong> P=2kg r contra una pared.<br />
El coeficiente <strong>de</strong> rozamiento cinético entre el bloque y la pared es <strong>de</strong><br />
0,30. Qué fuerza vertical Fv <strong>de</strong>be ejercer una cuerda sobre el bloque<br />
cuando se mueva con velocidad constante:<br />
a) Hacia arriba.<br />
b) Hacia abajo.<br />
23) En el sistema <strong>de</strong> la figura, el bloque A tiene una masa <strong>de</strong> 25<br />
kg, y el coeficiente <strong>de</strong> rozamiento entre éste y la superficie<br />
<strong>de</strong> apoyo es µ=0.2.<br />
a) Calcular la fuerza constante F r que es necesario aplicar<br />
para que el bloque B <strong>de</strong> 20 kg ascienda con una aceleración<br />
<strong>de</strong> 1m/s 2 .<br />
b) ¿Cuál es la tensión <strong>de</strong> la cuerda?<br />
40<br />
Rta: a) Fv=2,3 kg r ; b) Fv=1,7 kg r<br />
Rta.: a) 295 N, b) 220 N
24) Un cuerpo <strong>de</strong> masa m 1 se mueve con una velocidad <strong>de</strong> 10 m/s y otro<br />
<strong>de</strong> masa m 2 con una velocidad <strong>de</strong> 30 m/s, libres <strong>de</strong> la acción <strong>de</strong><br />
cualquier fuerza. En un <strong>de</strong>terminado instante, bajo la acción <strong>de</strong> una<br />
fuerza <strong>de</strong> igual módulo, las velocida<strong>de</strong>s varían <strong>de</strong> la manera indicada<br />
en el gráfico. ¿Cuál es el valor <strong>de</strong>l cociente entre sus masas?<br />
Rta: a) m 2 /m 1 =2<br />
25) En el sistema <strong>de</strong> la figura, calcular:<br />
a) ¿Qué distancia recorre el cuerpo 2 a<br />
partir <strong>de</strong>l reposo en 2 segundos, suponiendo<br />
que m1 partió <strong>de</strong> la base <strong>de</strong>l plano?<br />
b) La tensión <strong>de</strong> la soga<br />
c) Determinar F r1 y F r2.<br />
d) Si se corta la soga mientras el cuerpo 1 está ascendiendo, dar el valor, en módulo y sentido <strong>de</strong><br />
la nueva aceleración <strong>de</strong> cada cuerpo y <strong>de</strong>scribir cómo será el movimiento <strong>de</strong> cada uno a partir <strong>de</strong><br />
entonces.<br />
e) Realice un grafico aproximado <strong>de</strong> x = f(t) para el cuerpo 1 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el instante <strong>de</strong> su partida hasta<br />
que regresa al piso.<br />
Rta: a) 28 m; b) 42 N; c) F r1 =F r2 =2N; d)a 1 =-7 m/s 2 ; a 2 =24,5 m/s 2<br />
41
ALGUNOS DATOS básicos:<br />
Densidad <strong>de</strong>l agua = 1 g/cm 3<br />
HIDROSTÁTICA<br />
; Peso específico <strong>de</strong>l agua = 1 g r /cm 3 ; 1 kg<br />
r ≅ 10 N<br />
3<br />
g r / cm<br />
Densidad <strong>de</strong>l mercurio = 13,6 g/cm 3 ; Peso específico <strong>de</strong>l mercurio = 13,6<br />
1) ¿Por qué si caminamos sobre la nieve con zapatos comunes nos hundimos y con esquíes no?<br />
2) a) Calculen aproximadamente (estimando los datos necesarios) la PRESIÓN que un libro pue<strong>de</strong><br />
ejercer sobre la mesa.<br />
b) ¿Hay una única respuesta posible? Justifiquen.<br />
c) Calculen aproximadamente la presión que alguno <strong>de</strong> uste<strong>de</strong>s ejerce sobre el piso <strong>de</strong>l aula cuando<br />
está parado sobre él. Justifiquen si los <strong>de</strong>más alumnos ejercerán la misma presión.<br />
3) a) Calcular el peso <strong>de</strong> un cubo <strong>de</strong> hierro <strong>de</strong> 10 cm <strong>de</strong> arista sabiendo que su <strong>de</strong>nsidad es: D = 7,86<br />
g/cm 3 .<br />
b) Justificar –sin calcular- qué pasa con las magnitu<strong>de</strong>s peso, volumen, peso específico y presión si<br />
se divi<strong>de</strong> al cubo por la mitad (vertical u horizontalmente).<br />
4) Consi<strong>de</strong>remos que tanto en una bañera como en una jarra hay agua. Justifiquen:<br />
a) ¿Será la misma la presión <strong>de</strong>l agua sobre el fondo <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los recipientes mencionados?<br />
¿Y la fuerza que el agua ejerce sobre el fondo <strong>de</strong> cada uno <strong>de</strong> los recipientes mencionados?<br />
b) ¿Se modificarían las respuestas si el agua fuese salada?<br />
5) a) ¿En qué consistió el experimento <strong>de</strong> Torricelli?<br />
b) ¿Por qué se usa mercurio y sería poco apropiado usar agua en su lugar?<br />
6) a) ¿Por qué la presión atmosférica disminuye con la altura?<br />
b) ¿Qué ocurriría si se rompiese una ventanilla <strong>de</strong> un avión en vuelo, y el interior se pusiese en<br />
contacto con el exterior?<br />
7) La pared más alta <strong>de</strong> una represa mi<strong>de</strong> 302 m. Calcular la presión que ejerce el agua en la base <strong>de</strong><br />
dicha represa.<br />
Rta.: 3,02 x 10 5 k r g m<br />
2<br />
8) El agua contenida en un tanque cilíndrico pesa 5700 k r g . Si la presión en el fondo es <strong>de</strong><br />
2<br />
0,15k r g cm<br />
a) Calcular el radio <strong>de</strong> la base y la altura <strong>de</strong>l tanque.<br />
b) Si ese tanque se llenara con mercurio en lugar <strong>de</strong> agua, calcular el peso <strong>de</strong>l mercurio contenido<br />
en el recipiente.<br />
Rta.: a) 1,10m y 1,50m b) 7,75x10 4<br />
k r g .<br />
42
9) En el tubo en U <strong>de</strong> la figura, se ha llenado la rama <strong>de</strong><br />
la <strong>de</strong>recha con mercurio y la <strong>de</strong> la izquierda con un<br />
líquido <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>sconocida. Los niveles<br />
<strong>de</strong>finitivos son los indicados en el esquema.<br />
Hallar la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l líquido <strong>de</strong>sconocido.<br />
Rta.: 1,94 g/cm 3<br />
10) En el gráfico se representa la relación entre la presión p y la profundidad h para distintos puntos<br />
situados en el seno <strong>de</strong> un líquido, éste está contenido en un recipiente sin tapa.<br />
P(N/m²)<br />
4x10 5<br />
1x10 5 2 4 6 8 10 h(m)<br />
Respon<strong>de</strong>r:<br />
a) ¿Cuánto vale la presión en la superficie libre <strong>de</strong>l líquido? Justificar<br />
b) Calcular la pendiente <strong>de</strong> la recta ¿cuál es su significado físico?<br />
c) Escribir la expresión matemática que vincula las variables p y h<br />
d) Si el líquido se reemplaza por otro menos <strong>de</strong>nso, graficar p=f(h) en forma cualitativa (sin<br />
cálculos pero <strong>de</strong> acuerdo con las mismas escalas).<br />
11) Una prensa hidráulica tiene émbolos circulares <strong>de</strong> radios 0,1 m y 0,25 m. Calcular qué peso (en<br />
N) se pue<strong>de</strong> levantar en el émbolo mayor si en el menor se coloca un cuerpo <strong>de</strong> 5k r g .<br />
Rta.: 312,5 N<br />
12) Hallar la relación que existe entre los radios <strong>de</strong> los pistones <strong>de</strong> una prensa hidráulica si cuando se<br />
ejerce una fuerza <strong>de</strong> 10 k r g sobre el menor, en el mayor se recoge una fuerza <strong>de</strong> 4x10 3 k r g .<br />
Rta.: R2 / R1 = 20<br />
13) Un recipiente <strong>de</strong> forma cúbica se encuentra totalmente lleno con agua la cual ejerce, en el fondo<br />
<strong>de</strong>l mismo, una presión <strong>de</strong> 4x10 3 Pa. Calcular la arista <strong>de</strong> recipiente.<br />
Rta.: 40 cm<br />
14) Preguntas para discutir en grupo:<br />
a) ¿Por qué una botella <strong>de</strong> vidrio vacía y cerrada pue<strong>de</strong> flotar en el agua si el peso específico <strong>de</strong>l<br />
vidrio es mayor que el <strong>de</strong>l agua.<br />
b) Si un barco <strong>de</strong>ja el río para entrar en el mar, ¿cambiará la altura <strong>de</strong> su línea <strong>de</strong> flotación? ¿De<br />
qué manera? NOTA: la línea <strong>de</strong> flotación es la intersección <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong> un líquido con el cuerpo que flota en<br />
él.<br />
43
c) ¿A qué se <strong>de</strong>be que en el Mar Muerto, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> no po<strong>de</strong>r existir los seres vivos, es muy difícil<br />
que un ser humano se hunda?<br />
d) ¿Por qué una persona que podría ahogarse en el agua pue<strong>de</strong> flotar cuando dispone <strong>de</strong> un chaleco<br />
salvavidas?<br />
e) ¿Qué relación física guardan el lastre <strong>de</strong> un submarino y la vejiga natatoria <strong>de</strong> un pez?<br />
15) Durante un trabajo práctico los estudiantes realizaron el gráfico que se muestra a continuación, E<br />
representa el empuje aplicado sobre distintos cuerpos al ser sumergidos en un mismo líquido y con V<br />
se indican los volúmenes <strong>de</strong> dichos cuerpos.<br />
Se pi<strong>de</strong>: a) Calcular la pendiente con su incerteza absoluta.<br />
b) ¿Qué conclusiones se obtienen a partir <strong>de</strong>l gráfico?<br />
16) Un grupo <strong>de</strong> alumnos <strong>de</strong> tercer año obtiene los siguientes resultados para el empuje y el volumen<br />
<strong>de</strong> líquido <strong>de</strong>splazado al sumergir una serie <strong>de</strong> cuerpos en un mismo líquido<br />
Cuerpo Volumen <strong>de</strong>l líquido Empuje (gf)<br />
Nº <strong>de</strong>splazado (cm³)<br />
1 21±1 22±4<br />
2 40±1 38±4<br />
3 63±1 60±4<br />
4 79±1 82±4<br />
5 100±1 88±4<br />
6 122±1 120±4<br />
Teniendo en cuenta esos resultados experimentales justificar si las siguientes afirmaciones son<br />
verda<strong>de</strong>ras o falsas:<br />
a) “El empuje que recibe un cuerpo al ser sumergido en un líquido es igual al volumen <strong>de</strong>l líquido<br />
<strong>de</strong>splazado por el mismo”<br />
b) “A partir <strong>de</strong>l gráfico <strong>de</strong> E = f(V) es posible conocer el peso específico <strong>de</strong>l líquido”<br />
17)¿Qué volumen tendrá un cuerpo cuyo peso disminuye 40 g r al ser sumergido en agua?<br />
Rta.: 40 cm 3<br />
18) Un cuerpo <strong>de</strong> 100 cm 3 pesa 500 g r en el aire.<br />
a) ¿Qué empuje recibe cuando se lo sumerge en el agua?<br />
b) ¿Cuál es su peso aparente?<br />
c) ¿Cuál sería el peso aparente <strong>de</strong>l cuerpo si se lo sumergiera en alcohol, sabiendo que el peso<br />
específico <strong>de</strong>l alcohol es 0,8 g r /cm 3 ?<br />
Rtas.: 100 g r ; 400 g r ; 420 g r<br />
44
19) ¿Cuál es el peso específico <strong>de</strong> un cuerpo si flota en el agua <strong>de</strong> modo que emerge el 35 % <strong>de</strong> su<br />
volumen?.<br />
Rta.: 0,65 g r / cm 3<br />
20) Un objeto <strong>de</strong> masa 180 g y <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>sconocida (D1), se pesa sumergido en agua obteniéndose<br />
una medida <strong>de</strong> 150 g r . Al pesarlo <strong>de</strong> nuevo, sumergido en un líquido <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>sconocida<br />
(D2), se obtiene 144 g r . Determinar la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l objeto y la <strong>de</strong>l segundo líquido.<br />
Rtas.: D1 = 6 g/cm 3 ; D2 = 1,2 g/cm 3<br />
45
ENERGÍA<br />
1) - En una planta hidroeléctrica se transforma energía ........................................... en energía<br />
...............................................................<br />
- En un automóvil se transforma energía ............................................................ en energía<br />
................................................................<br />
- En el motor <strong>de</strong> una aspiradora...................................................................................<br />
- En un calefactor.........................................................................................................<br />
- En todos los casos hay ...........................................................................<strong>de</strong> la energía.<br />
2) Contesten justificando la respuesta, si es necesario hacer trabajo sobre un cuerpo para producir<br />
cada uno <strong>de</strong> los siguientes cambios en su estado: a) Cambiar el módulo <strong>de</strong> la velocidad pero no su<br />
dirección. b) Cambiar la dirección <strong>de</strong> la velocidad pero no su módulo. c) Cambiar módulo y<br />
dirección <strong>de</strong> la velocidad. d) Cambiar la posición.<br />
3) Comparen el trabajo realizado por la fuerza <strong>de</strong> rozamiento, cuando un cuerpo es transportado por<br />
una rampa, primero hacia arriba y luego hacia abajo.<br />
4) Indiquen si las siguientes afirmaciones son verda<strong>de</strong>ras o falsas y expliquen por qué.<br />
a) Si una fuerza hace trabajo sobre un cuerpo, su energía cinética aumenta.<br />
b) Si una fuerza hace trabajo sobre un cuerpo, su energía cinética disminuye.<br />
c) Si, por cualquier medio, se le entrega energía a un objeto, pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>cirse que su trabajo<br />
aumenta.<br />
d) La potencia <strong>de</strong> un aparato eléctrico es igual a la cantidad <strong>de</strong> energía que consume durante el<br />
tiempo que esté encendido.<br />
e) La potencia <strong>de</strong> un aparato eléctrico indica la cantidad <strong>de</strong> energía que consume por cada unidad<br />
<strong>de</strong> tiempo.<br />
f) Una máquina, cuanto más tiempo emplea en realizar un trabajo, más potencia tiene.<br />
g) En un movimiento circular uniforme la fuerza centrípeta no realiza ningún trabajo.<br />
h) Si un cuerpo se mueve <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un punto hasta otro a mayor altura el trabajo <strong>de</strong>l peso será<br />
negativo, sin importar por cuál camino se mueva.<br />
5) Den un ejemplo <strong>de</strong> proceso en el que se conserve la energía mecánica.<br />
6) La fuerza variable que actúa sobre un coche <strong>de</strong> juguete <strong>de</strong><br />
m = 30 kg en el momento <strong>de</strong>l arranque viene dada por la<br />
siguiente gráfica:<br />
a) Calculen el trabajo realizado por el motor <strong>de</strong>l coche<br />
durante los 3 primeros metros.<br />
b) Calculen el trabajo total realizado por el motor <strong>de</strong>l coche<br />
durante todo el arranque.<br />
c) ¿Qué velocidad tendrá el coche al final <strong>de</strong>l proceso?<br />
d) Si el arranque duró 5 s, ¿qué potencia <strong>de</strong>sarrolló el motor?<br />
Rtas: a) 150J; b) 600J; c) 6,32 m/s; d) 120W<br />
7) Un esquiador <strong>de</strong>scien<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el reposo sin rozamiento significativo, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una altura <strong>de</strong> 100 m por<br />
la la<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> una montaña. Suponiendo que su masa es <strong>de</strong> 80 kg:<br />
a) Calculen la velocidad con que llega a la base.<br />
b) ¿Qué ocurriría si su masa fuera sólo <strong>de</strong> 60 kg?<br />
Rta: a) 44,7 m/s<br />
46
8) Un taco <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> 8 kg se lanza verticalmente hacia arriba a una velocidad <strong>de</strong> 10 m/s.<br />
Consi<strong>de</strong>rando que el movimiento se produce en el vacío, calcule:<br />
a) A qué distancia <strong>de</strong>l plano <strong>de</strong> lanzamiento se encuentra cuando su velocidad vale 4 m/s?<br />
b) La máxima energía potencial que el cuerpo adquiere.<br />
Rta: a) 4,2 m; b) 400 J<br />
9) Sobre un cuerpo <strong>de</strong> 1 kg masa, que se <strong>de</strong>sliza sobre una superficie horizontal, actúan las fuerzas F 1<br />
y F 2 como indica el esquema. Al pasar por el punto A, la velocidad <strong>de</strong>l cuerpo es <strong>de</strong> 2 m/s.<br />
Sabiendo que la distancia AB vale 3 m. Calcular la velocidad que tiene al pasar por B.<br />
m<br />
A<br />
F 1<br />
α<br />
F 2<br />
B<br />
F 1= 5 N<br />
F 2 = 2 N<br />
α= 30°<br />
AB= 3 m<br />
v a = 2 m/s m= 1 kg<br />
Rta: v=6,48 m/s<br />
10) El carrito (m=6 Kg) que pasa por A con la v indicada, recorre el camino dibujado (se <strong>de</strong>sprecia el<br />
rozamiento). Calcular:<br />
a) Energía cinética, potencial y mecánica en B, C y D.<br />
b) La velocidad en B, C y D.<br />
c) La altura máxima que alcanzará el carrito sobre la rampa.<br />
Rtas: a) y b) en el cuadro siguiente; c) H máx = 11,2 m<br />
Rta. E p E c E m velocidad<br />
A 480 J 192 J 672 J 8 m/s<br />
B 240 J 432 J 672 J 12 m/s<br />
C 360 J 312 J 672 J 10,2 m/s<br />
D 0 672 J 672 J 15 m/s<br />
11) Una persona arroja una pelota verticalmente hacia abajo, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo alto <strong>de</strong> un edificio. En el punto<br />
A, cuando la pelota sale <strong>de</strong> la mano <strong>de</strong> la persona, su energía potencial (respecto <strong>de</strong>l suelo) es E pA<br />
=8 J, y su E cA =5 J.<br />
a) Suponga que la fuerza <strong>de</strong> fricción con el aire durante la caída <strong>de</strong> la pelota no<br />
es <strong>de</strong>spreciable. ¿Se conservará la energía mecánica durante la caída ?¿Por<br />
qué?<br />
b) Suponga que al llegar a B, la energía cinética en B es <strong>de</strong> 10 J.<br />
i) ¿Cuál fue la pérdida <strong>de</strong> energía potencial <strong>de</strong> la pelota al <strong>de</strong>splazarse <strong>de</strong> A a<br />
B?.<br />
ii) ¿Cuál fue el incremento <strong>de</strong> energía cinética <strong>de</strong> la pelota entre A y B? ¿Por<br />
qué este incremento no fue igual a la pérdida <strong>de</strong> energía potencial?.<br />
iii) ¿Cuánto vale la energía mecánica total <strong>de</strong>l objeto en B?<br />
47
iv) ¿Cuánto disminuyó la energía mecánica <strong>de</strong> la pelota entre A y B?<br />
v) ¿Cuál es la cantidad <strong>de</strong> calor generada por efecto <strong>de</strong> la fricción?<br />
12) Un carrito <strong>de</strong> 2 kg <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>scien<strong>de</strong> por un plano inclinado. Al pasar por el punto A, su<br />
velocidad es <strong>de</strong> 10 m/s. Entre A y C la fuerza <strong>de</strong> rozamiento es <strong>de</strong>spreciable. A partir <strong>de</strong> C<br />
ascien<strong>de</strong> por un plano inclinado <strong>de</strong> 30°, actuando una fuerza <strong>de</strong> rozamiento <strong>de</strong> 20 N.<br />
Calcular:<br />
a) v B<br />
b) v D<br />
c) trabajo total <strong>de</strong> las fuerzas en CD<br />
Rta: a) 14,14 m/s ; b) 8,94 m/s ; c) -120 J<br />
13) El carrito <strong>de</strong> la figura se <strong>de</strong>sliza por un camino <strong>de</strong> cuestas y pendientes. Sólo consi<strong>de</strong>ramos<br />
fuerzas <strong>de</strong> rozamiento en las zonas AB y EF. (en el resto <strong>de</strong>l recorrido, la fuerzas <strong>de</strong> rozamiento<br />
son <strong>de</strong>spreciables).<br />
Datos :<br />
F roz en AB = 5 N d AB = 2 m v A = 5 m/s<br />
F roz en EF = 10 N h A =3m h D =1m m= 2 kg<br />
Calcular:<br />
a) v B<br />
b) v D<br />
c) La distancia EF sabiendo que en F se <strong>de</strong>tiene<br />
Rtas: a) 3,87 m/s ; b) 7,42 m/s ; c) 7,5 m<br />
14)<br />
Sabiendo que el cuerpo partió <strong>de</strong>l reposo y que el movimiento rectilíneo<br />
uniformemente variado duró 2 segundos, <strong>de</strong>terminar la velocidad alcanzada por el<br />
cuerpo en dicho tiempo:<br />
a) Usando principios <strong>de</strong> la dinámica y ecuaciones <strong>de</strong>l M.R.U.V.<br />
b) Usando el teorema <strong>de</strong>l trabajo y la energía cinética.<br />
c) Usando el principio <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> la energía mecánica.<br />
F=100N; m= 10 kg ; µ= 0,25<br />
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Rta: v= 11 m/s<br />
15) Se <strong>de</strong>ja en libertad un piano <strong>de</strong> m=100 kg <strong>de</strong>s<strong>de</strong> lo alto <strong>de</strong> un camión <strong>de</strong> mudanzas por un plano<br />
inclinado 30°. Si el tablón que forma el plano mi<strong>de</strong> 3 m, calcular:<br />
a) La velocidad que tiene el piano cuando llega al suelo si no hay rozamiento.<br />
b) Í<strong>de</strong>m pero consi<strong>de</strong>rando un µ =0,1.
c) La fuerza que se <strong>de</strong>bería ejercer en a) para lograr que baje con velocidad constante. Realice el<br />
esquema <strong>de</strong> cuerpo libre.<br />
Resolver este problema usando los dos teoremas dados <strong>de</strong> energía. Verificar que se obtengan los<br />
mismos resultados.<br />
Rta: a) 5,48 m/s; b) 4,98 m/s; c) 500 N<br />
16) El motor <strong>de</strong> una bomba <strong>de</strong> agua pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>sarrollar una potencia <strong>de</strong> 1000 W. Si el cambio <strong>de</strong><br />
energía cinética es <strong>de</strong>spreciable, qué masa <strong>de</strong> agua pue<strong>de</strong> subir por segundo <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un pozo <strong>de</strong> 20 m<br />
<strong>de</strong> profundidad. (Sugerencia: se podría usar el Teorema <strong>de</strong>l Trabajo y la energía cinética)<br />
Rta: 5 kg<br />
17) Una fuerza constante <strong>de</strong> 10 N empuja un cuerpo <strong>de</strong> 1 kg hacia arriba <strong>de</strong> un plano inclinado con µ<br />
= 0,1, partiendo <strong>de</strong>l reposo en A.<br />
i) Averiguar la velocidad <strong>de</strong>l cuerpo en C:<br />
a) Usando el teorema <strong>de</strong>l trabajo y la energía cinética.<br />
b) Usando el principio <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> la energía mecánica.<br />
c) Usando sólo conceptos <strong>de</strong> cinemática y/o dinámica.<br />
ii) Calcular la potencia <strong>de</strong>sarrollada por F mientras el cuerpo llega <strong>de</strong> A a C.<br />
A<br />
F<br />
α=37°<br />
C<br />
B<br />
h CB = 6 m<br />
Rta: 1) v c = 8 m/s<br />
2) P = 40 W<br />
OTROS PROBLEMAS…<br />
18) Una bala <strong>de</strong> 10 g es disparada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial <strong>de</strong> 200m/s. Si<br />
la bala llega a una altura máxima <strong>de</strong> 1.2 km, ¿qué porcentaje <strong>de</strong> energía mecánica se pier<strong>de</strong> por la<br />
resistencia <strong>de</strong>l aire?<br />
19)<br />
Rta: 40%<br />
m= 2 Kg.<br />
α= 37°<br />
F= 10 N<br />
AB= 5 m<br />
h B = 10 m<br />
En AB hay rozamiento con µ = 0,1. En BC y CD no existe rozamiento. El carrito parte <strong>de</strong>l reposo en<br />
A por la acción <strong>de</strong> la fuerza F constante, que <strong>de</strong>ja <strong>de</strong> actuar en B. A partir <strong>de</strong> B el carrito se mueve<br />
por la pista indicada. Se pi<strong>de</strong>:<br />
a) Diagrama <strong>de</strong> cuerpos libre en AB y CD.<br />
b) Calcular la velocidad en B sin usar conceptos <strong>de</strong> energía.<br />
c) Determinar la energía mecánica <strong>de</strong>l cuerpo en C.<br />
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d) Determinar la distancia CD máxima que podrá recorrer el carrito antes <strong>de</strong> volver a caer. (Usando<br />
conceptos <strong>de</strong> energía).<br />
Rta: b) v = 5,2 m/s ; c) E = 227 J ; d) CD = 18,9 m<br />
20) Resolver por energía<br />
En AB no existe rozamiento mientras que en BC hay µ= 0,1. Si el carrito <strong>de</strong> masa m = 10 kg pasa por<br />
A con v a = 2 m/s, <strong>de</strong>terminar la máxima altura h c que podrá alcanzar en el segundo plano inclinado.<br />
Rta: 2,8m<br />
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