Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Como φ es conocida sobre el contorno (0) la función de peso ψ vale 0 sobre el contorno y la
integral sobre el contorno se anula. En consecuencia la forma débil resulta
∫
A
[ ∂ψ
∂x , ∂ψ ] ⎡ 1
⎢ G 0
⎣ xz
∂y
1
0
G yz
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
∂φ
∂x
∂φ
∂y
⎤
⎥
⎦ dA = −2β
∫
A
ψ dA (5.9)
En el caso de dominios multiplemente conexos debe cumplirse que la función de tensión sea
constante en cada contorno. Fijando el valor φ = 0, en el contorno exterior, en cada contorno
interno S i la función valdrá ¯φ i . Estos valores de ¯φ i son ‘a priori’ desconocidos y se obtienen de la
solución numérica. Lo que debe imponerse es que en todos los puntos j de cada contorno interno
i el valor de φ sea el mismo φ j = ¯φ i (∀j ∈ S i )
5.7. Flujo potencial
En el caso de flujos potenciales las condiciones que debe cumplir el campo de velocidades son
dos
1. continuidad, asociado con que la divergencia del campo de velocidades u sea nula
∇ · u = 0
2. irrotacionalidad, asociado a que el rotor del campo de velocidades sea nulo
∇ × u = 0
Hay dos formas equivalentes de abordar el problema, con diferentes ventajas de acuerdo al
problema que se intenta analizar. La variable fundamental del problema no es el campo de velocidades,
sino que éste (como todos los flujos tratados hasta ahora) se derivan de una variable
(escalar).
5.7.1. Función potencial
Una primera posibilidad es utilizar como variable independiente al potencial ϕ, de esta manera,
el campo de velocidades resulta
u = −∇ϕ
Naturalmente si el campo u se deriva de un potencial, entonces satisface en forma explícita la
condición irrotacionalidad y lo único que resta imponer es que satisfaga continuidad, es decir
∇ · u = −∇ · ∇ϕ = 0
con lo cual se obtiene la ecuación de Laplace.
Las condiciones de contorno que pueden imponerse en este caso son:
1. esenciales, es posible fijar el valor de ϕ (potencial hidráulico)
2. naturales, es posible fijar el valor de la velocidad normal al contorno u ν = ν · ∇ϕ
5.7.2. Función líneas de corriente
La segunda posibilidad es utilizar como variable independiente la función línea de corriente ψ
que es conjugada de la función potencial ϕ. El campo de velocidades u queda ahora definido por
⎡ ⎤
94
u =
[
u1
]
=
u 2
⎢
⎣
∂ψ
∂x 2
− ∂ψ
∂x 1
⎥
⎦