Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

La ecuación de equilibrio en la dirección z es la que gobierna el alabeo
∂σ xz
∂x + ∂σ yz
∂y
+ ∂σ zz
∂z + F z = ∂
∂x [G xz (−βy + w′ x)] + ∂ ∂y [G yz (βx + w′ y)] = 0 (5.2)
G ∂w′ x
xz
∂x + G ∂w′ y
yz
∂y
∂ 2 w
= G xz
∂x + G ∂ 2 w
2 yz
∂y = 0 (5.3)
2
Donde en la segunda expresión se ha supuesto que el material es homogéneo
Si el material además es isótropo G xz = G yz = G se obtiene la ecuación de Laplace
5.6.4. Condiciones de contorno
( )
∂ 2 w
G
∂x + ∂2 w
= G ∇ · ∇w = 0
2 ∂y 2
Figura 5
Condición de contorno en la torsión
Las condiciones de contorno son exclusivamente naturales (Neumann). La tensión de corte
normal al contorno debe ser cero τ ν = 0. Denominando con α al ángulo que forma la normal al
contorno ν con el eje x, tenemos que (llamando s a lo longitud de arco sobre el contorno
ν x = cos α = dy
ds
ν y = sin α = − dx
ds
la tensión de corte normal es
reemplazando las expresiones 5.1a
Si el material es isótropo
dy
τ ν = τ · ν = τ xz
ds − τ dx
yz
ds
τ ν = [G xz (−βy + w′ x)] dy
ds − [G yz (βx + w′ y)] dx
[
ds
= −β G xz y dy
ds + G yzx dx ]
dy
+ G xz
ds
w′ x
ds − G dx
yzw′ y
ds
[
τ ν = −Gβ y dy ] (
ds + xdx + G
ds
} {{ }
1 dr 2
2 ds
w′ x
)
dy
ds − dx
w′ y
ds
(5.4)
(5.5)
91