Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

Figura 2
Membrana traccionada sometida a una presión lateral
5.4. Membrana traccionada
El comportamiento de una membrana plana traccionada sometida a una presión lateral uniforme
responde también a la ecuación de Helmholtz. Supongamos que el estado tensional de la
membrana sea
σ =
[ ]
σ11 σ 12
σ 12 σ 22
Este estado tensional es uniforme en toda la membrana y no hay cargas másicas actuando en
el plano de la membrana, por lo cual se cumplen en forma trivial las ecuaciones de equilibrio en
el plano de la membrana. Notar que es posible determinar las direcciones principales (ν 1 , ν 2 ) del
tensor de tensiones σ , de tal forma que la expresión del tensor de tensiones en dicho sistema sea
diagonal. Esto simplifica un poco las expresiones que se presentan a continuación, sin embargo
no iremos en esa dirección, para mostrar la facilidad que tiene el método para tratar este tipo de
problemas.
Al aplicar una presión lateral p (uniforme) sobre la membrana, esta debe desplazarse lateralmente
u (x) (dejando de ser plana) a los fines de restablecer el equilibrio. Como la membrana no
puede desarrollar momentos flectores (en forma análoga a un cable), es a través de sus esfuerzos
en el plano como puede equilibrar fuerzas normales. La ecuación de equilibrio transversal a la
membrana, debida a la presión lateral es:
[ ( ) ( )]
∂ ∂u ∂u
σ 11 + σ 12 + ∂ [ ( ) ( )]
∂u ∂u
σ 21 + σ 22 + p ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2 e = 0
Donde e es el espesor de la membrana. La expresión anterior puede escribirse como
{[ ] }
σ11 σ
∇·
12
∇u + p σ 21 σ 21 e = 0
En este problema las condiciones de contorno son exclusivamente esenciales (Dirichlet). En
todo el contorno u =cte. (o 0).
Si la tensión sobre la membrana es igual en todas las direcciones del plano (σ 11 = σ 22 = σ ,
σ 12 = 0), llamando N = σe al esfuerzo membranal, entonces la ecuación de equilibrio se resume a
la ecuación de Laplace (no-homogénea)
∇ · ∇u = − p N
La ecuación a resolver resulta muy sencilla y es completamente similar al caso anterior. Notar
la similitud formal entre el tensor de tensiones σ de este caso con el tensor k que define la
conductividad térmica en el caso anterior. La forma variacional se obtiene de la misma forma que
en el caso anterior.
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