Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

5.3. Forma variacional del problema de valores en el contorno
La construcción de la forma variacional del problema de valores en el contorno comienza
definiendo el residuo r
r (x) = −∇· [k (x) ∇u (x)] + b (x) u (x) − f (x)
multiplicando el residuo por una función de ponderación o prueba v suficientemente suave, integrando
en el dominio e igualando a cero dicha integral. En la integral del residuo ponderado es
necesario realizar una integral por partes, para ello notemos que:
y de aquí
∇· (vk ∇u) = ∇u · (k∇v) + v∇· (k∇u)
∇ T (vk ∇u) = ∇ T u k ∇v + v ∇ T (k∇u)
v∇· (k∇u) = ∇· (v k ∇u) − ∇u · (k∇v)
v ∇ T (k∇u) = ∇ T (vk ∇u) − ∇ T u k ∇v
reemplazando el segundo miembro por el primero en la integral del residuo conduce a:
∫
∫
(∇u · (k∇v) + b u v − f v) dΩ − ∇· (v k ∇u) dΩ = 0
Ω
La segunda integral puede ser transformada en una integral sobre el contorno usando el teorema
de la divergencia
∫
∫
− ∇· (v k ∇u) dΩ = − vk ∂u
Ω
∂Ω ∂n ds ∂u
∂n = ∇u · n
En forma consistente al realizar la integral por partes aparecen las condiciones de contorno que
es posible fijar en el problema en estudio. Además de la propia variable del problema u , en la
última expresión aparece en el contorno el término −k ∂u ∂n ν (que es la condición de contorno
natural del problema), multiplicando a la función de ponderación v.
Notar que el problema de transferencia de calor en 3 dimensiones se plantea en forma idéntica,
es decir:
⎡
∂
⎤
x = (x 1 , x 2 , x 3 ) y ∂x 1
∂
∇ =
⎢ ∂x
⎣ 2 ⎥
∂ ⎦
∂x 3
La ecuación de campo es igual que antes
y las condiciones de contorno
−∇· [k (x) ∇u (x)] + b (x) u (x) = f (x)
Ω
86
−k (A)
o
−k (A)
∂u (A)
∂n
∂u (A)
∂n
u (A) = ū (A)
en ∂Ω u
= p (A) [u (A) − û (A)]
= ¯σ (A)
⎫
⎪⎬
⎪⎭
en ∂Ω σ