Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

donde r es el residuo que se quiere anular
Veamos como obtener la matriz tangente para un elemento de cable o barra articulada. Notar
que hasta ahora hemos escrito
T V I =
∑NB
K=1
Para cada barra interesa calcular su contribución a
Evaluemos entonces
N K δε K L K 0 = − [δu] T g (u) (4.34)
− [δu] T ∂g
∂u | i ∆u = [δu] T ∂ (T V I)
K i ∆u = ∆u (4.35)
∂u
[
∂ (N δε)
∂N
L 0 ∆u = L 0
∂u
∂u
La derivada en el primer término es
δε + N
∂δε
∂u
= L 0 δε ∂N
∂u ∆u + NL 0
]
∆u
∂δε
∂u
∆u (4.36)
∂N
∂u = ∂EAε
∂u
= EA ∂ε
∂u
(4.37)
a su vez la derivada ∂ε
∂ε
∆u = ∆ε es formalmente idéntica a δε = δu (expresión 4.22) es decir
∂u ∂u
Con lo cual una primera contribución a K
∂ε
∂u ∆u = 1 L 0
t · (∆u 2 − ∆u 1)
δu T K M ∆u = L 0 δε ∂N
∂u ∆u = ( δu 2 − δu 1) · t EA
L 0
t · (∆u 2 − ∆u 1)
= ( δu 1T , δu ) [ ] [ ]
2T EA t t
T
−t t T ∆u
1
L 0 −t t T t t T ∆u 2
(4.38)
Notar que la matriz K M obtenida es formalmente idéntica a la matriz de rigidez de la barra
en un análisis lineal, la diferencia es que aquí t corresponde a la geometría actual y no a la inicial.
Esta primera contribución se denomina ‘Matriz de rigidez material’ (K M ).
La segunda contribución resulta de
δu T K G ∆u = NL 0
∂δε
∂u ∆u
que será no nula sólo si existen esfuerzos N, esta componente K G se denomina matriz de rigidez ‘geométrica’,
de ‘carga-geometría’ o debida a los ‘esfuerzos iniciales’. Para evaluarla debemos obtener
[
]
1
∂δε ∂
∂u ∆u = L 0
(δu 2 − δu 1 ) T t
∆u = 1 (
δu 2 − δu 1) T ∂t
∆u (4.39)
∂u
L 0 ∂u
A su vez
con lo cual
86
(
∂t ∂
∂u ∆u =
)
x 2 −x 1
L
∂u
L 0 N ∂δε
∂u ∆u = ( δu 2 − δu 1) T
∆u = 1 L
[
1 − t t
T ] ∆u (4.40)
N [ ] ( 1 − t t
T
∆u 2 − ∆u 1) (4.41)
L