Capítulo 1 Métodos de residuos ponderados Funciones de prueba ...

a su vez el trabajo virtual externo puede escribirse
⎡
T V E = [ δu 2T , δu 3T , δu ] 4T ⎣
haciendo la diferencia entre la segunda y la primera e igualando a cero
⎤
p 2
p 3 ⎦ (4.26)
p 4
⎧⎡
⎤
T V
⎡
E − T
⎤
V
⎫
I = 0
[
δu 2T , δu 3T , δu ] ⎨ N 2 t 2 − N 1 t 1 p 2 ⎬
4T ⎣ N 3 t 3 − N 2 t 2
⎦ + ⎣ p 3 ⎦
⎩
N 4 t 4 − N 3 t 3 p 4 ⎭ = 0 (4.27)
Como los δu I son arbitrarios, para asegurar la igualdad, cada una de las ecuaciones entre llaves
debe anularse. Puede verse fácilmente que estas ecuaciones no son otra cosa que las ecuaciones de
equilibrio en cada nudo.
Las ecuaciones planteadas son no-lineales en los desplazamientos, pues tanto N K como t K
dependen en forma no-lineal de los desplazamientos. Los problemas no lineales se resuelven habitualmente
en forma incremental. Un forma común es escribir las acciones externas en función de
un escalar λ
⎡
⎣
⎤
p 2
p 3 ⎦ = λ
p 4
⎡
⎣
⎤
f 2
f 3 ⎦ = λf (4.28)
f 4
y obtener la solución (u i ) para valores crecientes de λ i partiendo de la posición de equilibrio
sin tensiones (u 0 = 0, λ 0 = 0). Supongamos entonces que se conoce una posición de equilibrio
(u i , λ i ) y queremos conocer una nueva posición de equilibrio (u i+1 = u i + ∆u, λ i+1 = λ i + ∆λ),
donde λ i+1 es dato e interesa determinar u i+1 . Es decir que se ha llegado a un punto i donde se
satisface
⎧⎡
⎤ ⎡ ⎤⎫
[
δu 2T , δu 3T , δu ] ⎨ N 2 t 2 − N 1 t 1 f 2 ⎬
4T ⎣ N 3 t
⎩ 3 − N 2 t 2
⎦ + λ i
⎣ f 3 ⎦ ˜= 0 (4.29)
N 4 t 4 − N 3 t 3 f 4 ⎭
y se busca un nuevo u i+1 que satisfaga
i
[δu] T {g (u i ) + λ i f} ˜= 0
[δu] T {g (u i+1 ) + λ i+1 f} ˜=0 (4.30)
Para ello se utiliza un esquema predictor-corrector, es decir se propone un valor inicial (predicción)
de u i+1 y luego se corrige hasta convergencia. Uno de los esquemas predictor-corrector más
utilizados es el de Newton-Raphson, el cual consiste en realizar la siguiente aproximación
g (u i+1 ) = g (u i ) + ∂g
∂u | i ∆u = g (u i ) − K i ∆u (4.31)
donde se ha introducido a
K = − ∂g
(4.32)
∂u
que es el ‘Hessiano’ o derivada del sistema de ecuaciones no-lineales o simplemente la matriz
tangente. reemplazando en la anterior
de donde la predicción resulta
[δu] T {g (u i ) − K i ∆u + λ i+1 f} ˜=0
∆u = [K i ] −1 [g (u i ) + λ i+1 f] = [K i ] −1 [r] (4.33)
85